Strahlungsintensität eines homogen und isotrop strahlenden
          ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
            transparenten Kugelvolumens als Funktion des Abstandes
            ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Betrachten wir eine im Zentrum eines xyz-Systems gelegene Kugel
      mit Radius R.  Es soll in einem Punkt außerhalb der Kugel im
      Abstand zo vom Kugelmittelpunkt die Intensität I bestimmt werden,
      mit der Intensität I ist hier die Strahlungsleistung dN pro
      Flächenelement dσ (tangential zur Kugelfläche) gemeint.  Das
      Ergebnis ist wegen der Kugelsymmetrie bekannt:  die gesamte im
      Kugelvolumen V erzeugte Leistung durchströme eine zentrisch um die
      Kugel gelegte Kugelfläche (Radius zo, Kugelfläche σ = 4∙π∙zo²),
      das Verhältnis von Leistung N zu Fläche σ ist dann (mit ε als
      spezifischer Volumenleistung, ε = dN/dV):

          ┌───────────────────────────────────────┐
          │                           3       3   │
          │ dN   N     V     (4/3)∙π∙R       R    │
          │ ── = ─ = ε∙─ = ε∙────────── = ε∙───── │
          │ dσ   σ     σ            2           2 │
          │                   4∙π∙zo        3∙zo  │
          └───────────────────────────────────────┘ .

      Obwohl also für eine Kugel das Ergebnis bekannt ist, soll hier
      durch Integration über das Kugelvolumen die Intensität bestimmt
      werden. Diese Methode ist nämlich für beliebige Volumen anwendbar,
      und die Kugel ist wegen der geschlossenen Integrierbarkeit und zum
      Vergleich mit dem obigen Ergebnis dafür besonders gut geeignet.

      Der Aufpunkt zo, in dem die Intensität aus der homogen und isotrop
      strahlenden transparenten Kugel empfangen wird, liege auf der
      z-Achse, und es sei zo ≥ R.  Wir benutzen Kugelkoordinaten r,Θ,Φ
      mit Θ als Winkelabstand vom 'Nordpol' (x=0,y=0,z=R) von 0 bis π.
      Ein Punkt in der Kugel bei r,Θ,Φ hat vom Aufpunkt zo den Abstand

               ┌                    ┐½
          r' = │zo²+r²-2∙zo∙r∙cos(Θ)│ ,
               └                    ┘

      ein Volumenelement dV der Kugel hat in Kugelkoordinaten die Größe

          dV = r²∙sin(Θ)∙dr∙dΘ∙dΦ .

      Sei ε die spezifische Strahlungsleistung, also die Leistung, die
      pro Volumenelement dV in der Kugel freigesetzt wird.  Die
      Strahlungsleistung, die von dV ins Raumwinkelelement dΩ gesandt
      wird, ist dann:

                     dΩ
          dN = ε∙dV∙───  .
                    4∙π

      Vom Ort des Volumenelementes dV wird statt der Empfangsfläche
      dσ aber nur

          dσ' = dσ∙cos(α)

      gesehen.  Zum Winkel α:  wenn wir das aus den Geraden der Längen
      zo, r' und r gebildete Dreieck betrachten, dann ist α der Winkel,
      der durch die Geraden der Längen zo und r' gebildet wird, Θ ist
      der Winkel, der durch die Geraden der Längen zo und r gebildet
      wird, und daher gilt:

                    zo - r∙cos(Θ)
          cos(α) = ───────────────   .
                         r'

      Die auf der Empfangsfläche dσ eintreffende Strahlungsleistung dN
      ist dann:

                       dσ'            dσ∙cos(α)
          dN = ε∙dV∙───────── = ε∙dV∙──────────   ,
                           2                 2
                     4∙π∙r'            4∙π∙r'

      so daß wir vom Volumenelement dV der Kugel den Intensitätsanteil
      erhalten:

          dN          zo - r∙cos(Θ)
          ── = ε∙dV∙ ───────────────   ,
          dσ                   3
                         4∙π∙r'

          dN                  zo - r∙cos(Θ)
          ── = ε∙dV∙ ───────────────────────────────  .
          dσ              ┌                    ┐3/2
                      4∙π∙│zo²+r²-2∙zo∙r∙cos(Θ)│
                          └                    ┘

      Die gesamte Intensität erhalten wir dann durch Integration über
      das Kugelvolumen:

                  2π  π   R
          dN      ⌠   ⌠   ⌠  (zo-r∙cos(Θ))∙r²∙sin(Θ)∙dr∙dΘ∙dΦ
          ── = ε∙ │   │   │  ────────────────────────────────   .
          dσ      ⌡   ⌡   ⌡        ┌                    ┐3/2
                 Φ=0 Θ=0 r=0   4∙π∙│zo²+r²-2∙zo∙r∙cos(Θ)│
                                   └                    ┘

      Wir können sogleich über Φ integrieren und erhalten mit der
      zusätzlichen Substitution u = cos(Θ), du = -sin(Θ)∙dΘ:

                  R    u=1
          dN   ε  ⌠     ⌠      (zo-r∙u)∙du
          ── = ─∙ │ r²∙ │  ──────────────────────∙dr  .
          dσ   2  ⌡     ⌡   ┌               ┐3/2
                 r=0  u=-1  │zo²+r²-2∙zo∙r∙u│
                            └               ┘
                                               u=1
                  R    ┌                        ┐
          dN   ε  ⌠    │      u∙zo - r          │
          ── = ─∙ │ r²∙│ ────────────────────── │∙dr  ,
          dσ   2  ⌡    │                      ½ │
                 r=0   └ zo²∙(zo²+r²-2∙r∙zo∙u)  ┘
                                               u=-1

                  R   2
          dN      ⌠  r ∙dr
          ── = ε∙ │  ─────   ,
          dσ      ⌡     2
                 r=0  zo

          ┌──────────────┐
          │          3   │
          │ dN      R    │
          │ ── = ε∙───── │
          │ dσ         2 │
          │        3∙zo  │
          └──────────────┘  .

      Interessant ist der Grenzfall auf der Kugeloberfläche, d.h., wenn
      wir zo = R setzen, man erhält:

          dN       R
          ── =  ε∙───  ,
          dσ       3

      die Gesamtleistung N der Kugel erhält man dann, wenn man diesen
      Ausdruck mit der Kugeloberfläche 4∙π∙R² multipliziert:

                     3
                4∙π∙R
          N = ε∙─────  ,
                  3

      das ist, wie zu erwarten, das Kugelvolumen mit der spezifischen
      Volumenleistung multipliziert.