Drehungen mit den Eulerschen Winkeln Φ1,Φ2,Φ3
                ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Betrachten wir zwei kartesische Koordinatensysteme im R3. Das
      eine nennen wir Σ, eine Basis sei <e1,e2,e3>. Das zweite nennen
      wir Σ' und eine Basis sei <e1',e2',e3'>. Die Basis von Σ' sei
      gegenüber der Basis von Σ gedreht, die Drehung werde durch die
      sog. Eulerschen Winkel Φ1,Φ2,Φ3 wie folgt beschrieben:

      1. Ausgehend von e1,e2,e3 werde eine Drehung um e3 in Richtung
      e1-e2 um den Winkel Φ1 ausgeführt. Wir erhalten eine neue Basis
      <e1',e2',e3'>. In Matrizenschreibweise:

          ┌     ┐   ┌                           ┐   ┌    ┐
          │ e1' │   │ cos(Φ1)  sin(Φ1)     0    │   │ e1 │
          │     │   │                           │   │    │
          │ e2' │ = │-sin(Φ1)  cos(Φ1)     0    │ ∙ │ e2 │
          │     │   │                           │   │    │
          │ e3' │   │    0        0        1    │   │ e3 │
          └     ┘   └                           ┘   └    ┘  ,

          ê' = A∙ê .

      2. Ausgehend von e1',e2',e3' werde eine Drehung um e1' in Richtung
      e2'-e3' um den Winkel Φ2 ausgeführt. Wir erhalten eine neue Basis
      <e1", e2",e3">. In Matrizenschreibweise:

          ┌     ┐   ┌                           ┐   ┌     ┐
          │ e1" │   │    1        0        0    │   │ e1' │
          │     │   │                           │   │     │
          │ e2" │ = │    0     cos(Φ2)  sin(Φ2) │ ∙ │ e2' │
          │     │   │                           │   │     │
          │ e3" │   │    0    -sin(Φ2)  cos(Φ2) │   │ e3' │
          └     ┘   └                           ┘   └     ┘  ,

          ê" = B∙ê' .

      3. Ausgehend von e1",e2",e3" werde eine Drehung um e3" in Richtung
      e1"-e2" um den Winkel Φ3 ausgeführt. Wir erhalten eine neue Basis
      <e1"', e21"',e3"'>. In Matrizenschreibweise:

          ┌      ┐   ┌                           ┐   ┌     ┐
          │ e1"' │   │ cos(Φ3)  sin(Φ3)     0    │   │ e1" │
          │      │   │                           │   │     │
          │ e2"' │ = │-sin(Φ3)  cos(Φ3)     0    │ ∙ │ e2" │
          │      │   │                           │   │     │
          │ e3"' │   │    0        0        1    │   │ e3" │
          └      ┘   └                           ┘   └     ┘  ,

          ê"' = C∙ê" .

      Zusammenfassend können wir also schreiben:

          ê"' = C∙B∙A∙ê = D∙ê .

      Die Matrix D ist ausgeschrieben (sΦi bzw. cΦi stehen synonym für
      sin(Φi) bzw. cos(Φi), i=1,2,3):

          ┌                                                     ┐
          │  cΦ1∙cΦ3-sΦ1∙cΦ2∙sΦ3   sΦ1∙cΦ3+cΦ1∙cΦ2∙sΦ3  sΦ2∙sΦ3 │
          │                                                     │
          │ -cΦ1∙sΦ3-sΦ1∙cΦ2∙cΦ3  -sΦ1∙sΦ3+cΦ1∙cΦ2∙cΦ3  sΦ2∙cΦ3 │
          │                                                     │
          │          sΦ1∙sΦ2              -cΦ1∙sΦ2        cΦ2   │
          └                                                     ┘ .

      Betrachten wir einen beliebigen Vektor, die Komponenten-
      darstellung bezüglich der Basis <e1,e2,e3> nennen wir X, die
      bezüglich der Basis <e1"',e2"',e3"'> nennen wir X"'.  Wir können
      nun schreiben:

          x1∙e1 + x2∙e2 + x3∙e3    │
                                   │       ┌  ┐            ┌  ┐
             T                     │       │x1│            │e1│
          = X ∙ê                   │ X   = │x2│    , ê   = │e2│
                                   │       │x3│            │e3│
             T  -1                 │       └  ┘            └  ┘
          = X ∙D  ∙ê"'             │
                                   │       ┌    ┐          ┌    ┐
               T                   │       │x1"'│          │e1"'│
          = X"'   ∙ê"' .           │ X"' = │x2"'│  , ê"' = │e2"'│
                                   │       │x3"'│          │e3"'│
                                   │       └    ┘          └    ┘
      Wir finden also:

             T    T  -1
          X"'  = X ∙D    bzw.

           T        T
          X    = X"' ∙D  .

                                                             T    -1
      Transponieren wir die Gleichung und beachten wir, daß D  = D
      (weil D orthogonal und normiert ist), so erhalten wir:

                                   T
          X = D∙X"'   oder  X"' = D ∙X .

      Ergebnis:

          ┌──────────────┐
          │ ê"' = D ∙ ê  │
          │              │
          │        T     │
          │ X"' = D ∙ X  │
          └──────────────┘