Bahnen in Zentralkraftfeldern

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Die folgenden GIF89a-Bilder, „animierte GIFs“, stellen die Bewegung von Probekörpern mit Bahndrehimpuls I ≠ 0 in verschiedenen Zentralkraftfeldern dar. Bei Zentralkraftfeldern ist die auf den Probekörper (Punkt) wirkende Kraft genau in Richtung Zentrum gerichtet. Wir betrachten nur Kraftfelder, deren Betrag eine reine Potenzfunktion des Radius r ist: f(r) = −c·rk, c ist eine positive Konstante. Wir betrachten die Fälle k = +9.9, +1, −1.3, −2, −2.3456 und −3. Für k > +1 kommen Bahnen heraus, deren Maxima-Abstände (gemeint ist der Winkel von Maximum zu Maximum) mit wachsendem k immer kleiner werden. Für alle Bahnen mit k ≤ −3 gilt: Nur die Kreisbahn ist als unendlich periodischer Ablauf möglich, sonst führt die Bahn je nach Anfangsbedingung entweder ins Zentrum oder ins Unendliche. Die ersten sechs Bilder zeigen exemplarisch alle grundsätzlich möglichen Fälle. Das siebte und letzte Bild wird als Sonderfall unten extra erläutert. Es sollt noch erwähnt werden, daß die Bahnen außer für k = 1 und k = −2 im allgemeinen nicht geschlossen sind! Die geschlossenen Bahnen der Bilder mit k = +9.9, −1.3 und −2.3456 sind also Sonderfälle, sie wurden nur wegen des gefälligeren Aussehens der GIFs gewählt.

Alle Bahnen − bis auf die explizit berechneten Spiralbahnen im sechsten Fall − wurden durch Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichungen mit dem Runge-Kutta Verfahren (Programmiersprache Euphoria) berechnet und als BMP-Files abgespeichert. Diese Bilderfolgen wurden dann mittels des Programms Animagic in GIFs umgewandelt.

Wenn die GIFs zu langsam laufen …

…dann sollten Sie hier prüfen, ob Ihr Browser bewegte GIF-Bilder auch mit der nötigen Geschwindigkeit abspielt!

f(r) = −c·r^+9.9

1. Dies ist die Bewegung eines Körpers in einem speziellen Potentialtopf, das Kraftfeld gehorcht der Funktion: f(r) = −c·r+9.9, c ist eine positive Konstante. Die Bahn ist rosettenförmig, und sie ist im allgemeinen nicht geschlossen. Diese Bahnform erhält man für beliebige Anfangsbedingungen. Das Maximum wird in diesem Fall nach einem Umlaufwinkel von jeweils 144° erreicht.

Das GIF besteht aus 371 Einzelbildern.


f(r) = −c·r

2. Das Kraftfeld, welches dieser Bewegung zugrunde liegt, ist das einer elastischen Feder: f(r) = −c·r, c ist eine positive Konstante. Die Bahn ist eine im Kraftzentrum zentrierte Ellipse. Diese Bahnform erhält man für beliebige Anfangsbedingungen, sie ist immer geschlossen. Das Maximum wird immer nach einem Umlaufwinkel von jeweils 180° erreicht.

Das GIF besteht aus 200 Einzelbildern.


f(r) = −c·r^−1.3

3. Diese Bewegung könnte schon in einer Galaxie auftreten, die Kraftfunktion ist: f(r) = −c·r−1.3. Der Exponent (−1.3) wurde gerade so gewählt, daß eine geschlossene Bahn entsteht, im allgemeinen ist sie aber nicht geschlossen. Das Maximum wird in diesem speziellen Fall nach einem Umlaufwinkel von jeweils 270° erreicht.

Das GIF besteht aus 584 Einzelbildern.


f(r) = −c·r^−2

4. Dies ist die bekannte Keplerbahn, d. h., die Kraft ist: f(r) = −c·r−2. Wir haben also als Bahn eine Ellipse mit dem Kraftzentrum in einem Brennpunkt der Ellipse. Diese Bahnform erhält man für beliebige Anfangsbedingungen, solange nur die Gesamtenergie negativ ist. Planetenbahn! Das Maximum wird immer nach jeweils einem Umlaufwinkel von 360° erreicht.

Das GIF besteht aus 218 Einzelbildern.


f(r) = −c·r^−2.3456

5. Diese Bahn erhält man für das Kraftgesetz: f(r) = −c·r−2.3456. Der Exponent (−2.3456) wurde gerade so gewählt, daß eine geschlossene Bahn entsteht, was im allgemeinen nicht der Fall ist! Selbst mit beliebigen Massenverteilungen sind nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz solche Bahnen nicht möglich, sie haben daher nur theoretische Bedeutung. Das Maximum wird in diesem speziellen Fall nach einem Umlaufwinkel von jeweils 450° erreicht.

Das GIF besteht aus 743 Einzelbildern.


f(r) = −c·r^−3

6. Unter anderem erhält man logarithmische Spiralen (r(φ) ~ a·exp(b·φ)) für das Kraftgesetz: f(r) = −c·r−3. Wie schon oben erwähnt, ergeben sich für Exponenten ≤ −3 im Kraftgesetz keine stabilen Bahnen, nur die Kreisbahn ist als unendlich periodischer Ablauf − wie in allen Zentralkraftfeldern − möglich. Hier werden zwei Sterne mit denselben Anfangspositionen und Flächengeschwindigkeiten, jedoch mit etwas unterschiedlichen Steigungswinkeln gezeigt: die des blauen Sterns beträgt 4°, die des roten beträgt −2°. Während der rote Stern sehr schnell (in endlicher Zeit!) ins Kraftzentrum spiralt, bewegt sich der blaue Stern immer langsamer werdend gegen unendlich. Selbst mit beliebigen Massenverteilungen sind nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz solche Bahnen nicht möglich, sie haben daher nur theoretische Bedeutung.

Das GIF besteht aus 480 Einzelbildern.


Galactic Orbit

7. Hier bewegen sich zwei Sterne im mittleren Kraftfeld einer Spiralgalaxie. Im allgemeinen ist in Spiralgalaxien die Kreisbahngeschwindigkeit v(r) der Sterne als Funktion des Abstandes r vom galaktischen Zentrum außerhalb des Zentralbereiches (bulge) nahezu konstant, also v(r) ≈ v0 = const. Daraus folgt, daß für die Zentralkraft auf einen Stern ungefähr gilt: f(r) = −c·r−1, und daß das Potential ungefähr eine logarithmische Funktion von r ist. Für ein solches Kraftfeld wurden die Sternbewegungen berechnet. Die grauen Kreise im Bild entsprechen Abständen von 4 kpc, der rote Stern bewegt sich also im Abstandsbereich von 8 bis 12 kpc, der blaue Stern bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius von ca. 10.1 kpc mit der Kreisbahngeschwindigkeit v0. Der rote Stern startete bei r = 12 kpc nicht mit v0, sondern mit ca. 81% von v0. Die sich dann ergebende Bahn ist eine Rosettenbahn, die im allgemeinen Fall nicht geschlossen ist! Man kann sehr schön verfolgen, wie der rote Stern relativ zum blauen Stern eine Epizykelbewegung ausführt. Übrigens verläuft der Vorgang hier ca. 1016 mal schneller als in der Natur ab!

Das GIF besteht aus 834 Einzelbildern, nach 5 Umläufen wiederholt sich der Ablauf. Die Bahnen wurden nach der Methode von Runge-Kutta numerisch integriert. Durch Wahl einer Kraftfunktion f(r) ~ r−1.05 statt f(r) ~ r−1 wurde (um das „Springen“ der Sterne bei Wiederholung der Bildsequenz zu vermeiden) der Sonderfall einer geschlossenen Bahn erreicht. Die Kreisbahngeschwindigkeit v(r) ist dann zwar nicht mehr unabhängig von r, sie nimmt jedoch nur extrem langsam mit wachsendem r ab, nämlich proportional zu r−0.05, und deshalb kann man sie immer noch als nahezu konstant ansehen.