Fehlerabschätzung für die Parameter der zweidimensionalen
          ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
                                 Gaußfunktion
                                 ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Die zum Fit verwandte Funktion sei gegeben durch

                              ┌                     ┐
                              │   (x-a3)² + (y-a4)² │
          f(x,y) = a1 + a2∙exp│-½∙───────────────── │  ;             (1)
                              │          a5²        │
                              └                     ┘

      es handelt sich also um eine kreissymmetrische Gaußfunktion mit
      Untergrund a1.

      Wir wollen für die weitere Behandlung des Problems einige Voraus-
      setzungen notieren:  Es seien d(x,y) die gemessenen Funktionswerte
      an den Orten (x,y).  Alle Messungen seien unkorreliert und haben
      die Streuung σ.  Damit lautet die Kovarianzmatrix der Messungen:

                2
          CD = σ ∙E   (E = Einheitsmatrix).

      Die Daten seien in einem quadratischen Raster von n mal n Punkten
      mit einem Rasterabstand ⌂ gewonnen worden. Weiter nehmen wir an,
      daß am Rande des Rasterbereiches f(x,y) praktisch gleich a1 ist.
      Außerdem soll ⌂/a5 « 1 und n∙⌂/a5 » 1 sein.

      Die für die Ausgleichung notwendigen Gleichungen lauten

                                                                                       ┌      ┐
                     ┌                                                               ┐ │a1-a10│
                     │   fi-a10  fi-a10 x-a30  fi-a10 y-a40  fi-a10 (x-a30)²+(y-a40)²│ │a2-a20│
          z(xi,yi) = │1, ──────, ──────∙─────, ──────∙─────, ──────∙─────────────────│∙│a3-a30│+ vi,      (2)
                     │     a20     a50   a50     a50   a50     a50        a50²       │ │a4-a40│
                     └                                                               ┘ │a5-a50│
                                                                                       └      ┘

          i = 1,...,n², fi = f(xi,yi;A0), z(xi,yi) = d(xi,yi) - fi,

      dabei stellen die vi die scheinbaren Fehler dar. Es sei noch
      bemerkt, daß die z(xi,yi) dieselbe Kovarianzmatrix haben wie die
      d(xi,yi): CZ = CD . In Matrizenschreibweise lauten die Gleichungen
      (2):

          Z = F∙δA + V .

      Die Lösung erfolgt iterativ, wobei die aj0, j=1,2,3,4,5 die
      Anfangswerte für den jeweiligen Iterationsschritt darstellen. Im
      Falle der Konvergenz ist aj0 = aj. Deshalb schreiben wir im
      folgenden nur aj statt aj0. Die Kovarianzmatrix der zu
      bestimmenden Koeffizienten

              ┌  ┐
              │a1│
              │a2│
          A = │a3│
              │a4│
              │a5│
              └  ┘

      ergibt sich nach der MkF zu:

                 t   -1   -1
          CA = (F ∙CD  ∙F)  ,

                 t
      wobei mit F  die Transponierte zu F bezeichnet ist.  Die
      Diagonalelemente sind die Varianzen der Koeffizienten. Aus CD=σ²∙E
      folgt

            -1    -2                                 2   t   -1
          CD   = σ  ∙E, und damit erhalten wir CA = σ ∙(F ∙F)  .

           t
      Für F ∙F erhalten wir die symmetrische Matrix

           t
          F ∙F =

      ┌                                                                                                    ┐
      │       fi-a1      fi-a1 xi-a3         fi-a1 yi-a4                fi-a1 (xi-a3)²+(yi-a4)²            │
      │  Σ1  Σ─────     Σ─────∙─────        Σ─────∙─────               Σ─────∙─────────────────            │
      │         a2         a5    a5            a5    a5                   a5         a5²                   │
      │                                                                                                    │
      │       (fi-a1)²   (fi-a1)² xi-a3      (fi-a1)² yi-a4             (fi-a1)² (xi-a3)²+(yi-a4)²         │
      │  *   Σ───────   Σ────────∙─────     Σ────────∙─────            Σ────────∙─────────────────         │
      │         a2²        a2∙a5   a5          a2∙a5   a5                 a2∙a5         a5²                │
      │                                                                                                    │
      │                  (fi-a1)² (xi-a3)²   (fi-a1)² (xi-a3)∙(yi-a4)   (fi-a1)² (xi-a3) (xi-a3)²+(yi-a4)² │
      │  *      *       Σ────────∙────────  Σ────────∙───────────────  Σ────────∙───────∙───────────────── │
      │                     a5²      a5²        a5²         a5²            a5²      a5          a5²        │
      │                                                                                                    │
      │                                      (fi-a1)² (yi-a4)²          (fi-a1)² (yi-a4) (xi-a3)²+(yi-a4)² │
      │  *      *             *             Σ────────∙────────         Σ────────∙───────∙───────────────── │
      │                                         a5²      a5²               a5²      a5          a5²        │
      │                                                                                                    │
      │                                                                 (fi-a1)² (xi-a3)²+(yi-a4)²         │
      │  *      *             *                    *                   Σ────────∙─────────────────         │
      │                                                                    a5²          a5²                │
      └                                                                                                    ┘

      Da nach Voraussetzung ⌂/a5 « 1 ist, können wir für die in den
      Summen Auftretenden Ausdrücke Integralausdrücke setzen, so z.B.

                                         xi+⌂/2 yi+⌂/2
          (fi-a1)²   (fi-a1)²     1   1  ⌠      ⌠
      für ────────:  ────────  ≈ ───∙── ∙│      │  (fi-a1)²∙dy∙dx    usw.
             a2²        a2²      a2² ⌂²  ⌡      ⌡
                                         xi-⌂/2 yi-⌂/2

      Da ferner nach Voraussetzung an den Rändern des Scanbereichs
      f(x,y) praktisch gleich a1 ist, können wir bei der Summation der
      Integrale diese von -∞ bis +∞ erstrecken, so z. B. für


                                           xi+⌂/2 yi+⌂/2
           (fi-a1)²     (fi-a1)²     1   1 ⌠      ⌠
          Σ──────── :  Σ──────── ≈ Σ───∙──∙│      │  (fi-a1)²∙dy∙dx,
          i   a2²      i   a2²     ia2² ⌂² ⌡      ⌡
                                           xi-⌂/2 yi-⌂/2

                         +∞ +∞   ┌                     ┐
           (fi-a1)²    1 ⌠  ⌠    │   (x-a3)² + (y-a4)² │           a5²
          Σ──────── ≈ ──∙│  │ exp│-½∙───────────────── │∙dy∙dx = π∙── ,
          i   a2²     ⌂² ⌡  ⌡    │          a5²        │           ⌂²
                         -∞ -∞   └                     ┘

                           (fi-a1)²     a5²
      Wir erhalten so:    Σ──────── ≈ π∙── .
                          i   a2²       ⌂²

      Wir wollen hier von der Bestimmung der anderen Summen absehen und

                                 t
      sogleich das Ergebnis für F ∙F aufschreiben:


                  ┌                                         ┐
                  │          2πa5²                  4πa2a5  │
                  │   n²     ─────     0       0    ──────  │
                  │            ⌂²                      ⌂²   │
                  │                                         │
                  │ 2πa5²     πa5²                   πa2a5  │
                  │ ─────     ────     0       0     ─────  │
                  │   ⌂²       ⌂²                      ⌂²   │
                  │                                         │
           t      │                  πa5²                   │
          F ∙F =  │    0       0     ────      0       0    │   .
                  │                   2⌂²                   │
                  │                                         │
                  │                          πa5²           │
                  │    0       0       0     ────      0    │
                  │                           2⌂²           │
                  │                                         │
                  │ 4πa2a5   πa2a5                  2πa5²   │
                  │ ──────   ─────     0       0    ─────   │
                  │   ⌂²       ⌂²                     ⌂²    │
                  └                                         ┘

                                          ┌  t   ┐-1
      Wir erhalten für die inverse Matrix │ F ∙F │  :
                                          └      ┘


                          ┌                                                               ┐
                          │         π                                          -2πa5      │
                          │   ───────────       0         0        0     ──────────────── │
                          │   n²∙⌂²-8πa5²                                a2∙(n²∙⌂²-8πa5²) │
                          │                                                               │
                          │                     2                                -1       │
                          │         0          ───        0        0           ─────      │
                          │                    a5²                             a2∙a5      │
                          │                                                               │
          ┌  t   ┐-1   ⌂² │                               2                               │
          │ F ∙F │   = ──∙│         0           0        ───       0             0        │ ,
          └      ┘     π  │                              a2²                              │
                          │                                                               │
                          │                                        2                      │
                          │         0           0         0       ───            0        │
                          │                                       a2²                     │
                          │                                                               │
                          │       -2πa5         -1                        1  n²∙⌂²-4πa5²  │
                          │ ────────────────  ─────       0        0     ───∙──────────── │
                          │ a2∙(n²∙⌂²-8πa5²)  a2∙a5                      a2² n²∙⌂²-8πa5²  │
                          └                                                               ┘

      und daher erhalten wir für die Kovarianzmatrix CA, wenn man
      sogleich auch n∙⌂/a5 » 1 berücksichtigt und anwendet:

                     ┌                                              ┐
                     │     π                                -2πa5   │
                     │   ─────       0        0        0   ──────── │
                     │   n²∙⌂²                             a2∙n²∙⌂² │
                     │                                              │
                     │               2                        -1    │
                     │     0        ───       0        0    ─────   │
                     │              a5²                     a2∙a5   │
                     │                                              │
               σ²∙⌂² │                        2                     │
          CA = ─────∙│     0         0       ───       0       0    │ .
                 π   │                       a2²                    │
                     │                                              │
                     │                                 2            │
                     │     0         0        0       ───      0    │
                     │                                a2²           │
                     │                                              │
                     │  -2πa5       -1                         1    │
                     │ ────────   ─────       0        0      ───   │
                     │ a2∙n²∙⌂²   a2∙a5                       a2²   │
                     └                                              ┘

      Damit lautet die Varianz der Position a3,a4:

                            σ²∙⌂²∙2
          σ²(a3) = σ²(a4) = ───────  und daher:
                              πa2²

          ┌──────────────────────────┐
          │                     ┌ ┐½ │
          │                 σ∙⌂ │2│  │
          │ σ(a3) = σ(a4) = ───∙│─│  │
          │                  a2 │π│  │
          │                     └ ┘  │
          └──────────────────────────┘

      Wir bemerken:

      1) Die Größe σ∙⌂ ist eine nur von der Platte abhängige Größe.
         Vergrößert man den Rasterabstand ⌂ auf das Doppelte (d. h.  die
         Pixelfläche auf das Vierfache!), so verringert sich σ auf den
         halben Wert, damit bleibt σ∙⌂ konstant.

      2) Die Größe des Scanbereichs spielt keine Rolle, solange nur
         das durch f dargestellte Bild ganz innerhalb des Scanbereichs
         liegt.

      3) Die Genauigkeit der Position für Sterne gegebener Zentral-
         helligkeit (=a2) hängt nur von den Platteneigenschaften (σ∙⌂)
         ab.  Sie hängt nicht von der Größe des Sternbildes (=a5) ab!


               Die integrierte Intensität der zweidimensionalen
               ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
                                 Gaußfunktion
                                 ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Unter Bezug auf das Vorige wollen wir unter der integrierten
      Intensität I verstehen:

             +∞+∞
              ⌠ ⌠       ┌                     ┐
              │ │       │   (x-a3)² + (y-a4)² │
          I = │ │ a2∙exp│-½∙───────────────── │∙dy∙dx  ,
              │ │       │          a5²        │
              ⌡ ⌡       └                     ┘
             -∞-∞

      also die Integration von f(x,y) ohne Untergrund a1. Die
      Integration ergibt:

          ┌────────────────┐
          │                │
          │  I = 2π∙a2∙a5² │  .
          │                │
          └────────────────┘

      Zur Berechnung des Fehlers müssen wir die Änderung δI als Fkt. von
      a2,a5 (linearisiert) betrachten. Es gilt:

               ┌        ┐ ┌   ┐                      ┌   ┐
               │ dI   dI│ │δa2│   ┌                ┐ │δa2│
          δI = │───, ───│∙│   │ = │2π∙a5², 4π∙a2∙a5│∙│   │ .
               │da2  da5│ │δa5│   └                ┘ │δa5│
               └        ┘ └   ┘                      └   ┘

      Zur Bestimmung des Fehlers bedienen wir uns der Kovarianzmatrix
      CA25 der beiden Parameter a2,a5, die wir der Kovarianz CA
      entnehmen:

                       ┌             ┐
                       │   2     -1  │
                       │  ───  ───── │
                 σ²∙⌂² │  a5²  a2∙a5 │
          CA25 = ─────∙│             │  .
                   π   │   -1     1  │
                       │ ─────   ─── │
                       │ a2∙a5   a2² │
                       └             ┘

      Damit lautet die Kovarianzmatrix CI:

               ┌        ┐      ┌        ┐t
               │ dI   dI│      │ dI   dI│
          CI = │───, ───│∙CA25∙│───, ───│  ,
               │da2  da5│      │da2  da5│
               └        ┘      └        ┘


                                    ┌             ┐
                                    │   2     -1  │
                                    │  ───  ───── │ ┌        ┐
           σ²∙⌂² ┌                ┐ │  a5²  a2∙a5 │ │2π∙a5²  │
      CI = ─────∙│2π∙a5², 4π∙a2∙a5│∙│             │∙│        │,
             π   └                ┘ │   -1     1  │ │4π∙a2∙a5│
                                    │ ─────   ─── │ └        ┘
                                    │ a2∙a5   a2² │
                                    └             ┘

                     ┌                     ┐
               σ²∙⌂² │                     │
          CI = ─────∙│ -8π²∙a5² + 16π²∙a5² │ ,
                 π   │                     │
                     └                     ┘


          CI = 8π∙a5²∙σ²∙⌂² ,


      und daher für die Streuung σ(I):

          ┌──────────────────────┐
          │                      │
          │ σ(I) = 2√(2π)∙a5∙σ∙⌂ │  .
          │                      │
          └──────────────────────┘

      Die relative Streuung ergibt sich zu:


          ┌───────────────────┐
          │                   │
          │        ┌ ┐½       │
          │ σ(I)   │2│   σ∙⌂  │
          │ ──── = │─│ ∙───── │  .
          │   I    │π│  a2∙a5 │
          │        └ ┘        │
          │                   │
          └───────────────────┘