Fehlerabschätzung für die Parameter der eindimensionalen
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Gaußfunktion
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Die zum Fit verwandte Funktion sei gegeben durch
┌ ┌ ┐2┐
│ │x-a3│ │
f(x) = a1 + a2∙exp│-½∙│────│ │ . (1)
│ │ a4 │ │
└ └ ┘ ┘
Zur Bestimmung der Koeffizienten nach der Methode der kleinsten
Fehlerquadrate (MkF) linearisieren wir f(x) nach den Parametern
a1, a2, a3, a4 an der Stelle
┌ ┐
│a10│
A0 = │a20│ .
│a30│
│a40│
└ ┘
Vektoren und Matrizen seien durch Großbuchstaben gekennzeichnet.
Mit fo(x) = f(x; a10,a20,a30,a40) ist dann (ohne Restglied):
┌ ┐
│ ┌ ┐2│ ┌ ┐
│ fo(x)-a10 fo(x)-a10 x-a30 fo(x)-a10 │x-a30│ │ │a1-a10│
f(x) = fo(x) + │ 1, ─────────, ─────────∙─────, ─────────∙│─────│ │∙│a2-a20│.
│ a20 a40 a40 a40 │ a40 │ │ │a3-a30│
│ └ ┘ │ │a4-a40│
└ ┘ └ ┘
Wir wollen für die weitere Behandlung des Problems einige Voraus-
setzungen notieren: Es seien d(x) die gemessenen Funktionswerte an
den Orten x. Alle Messungen seien unkorreliert und haben die
Streuung σ. Damit lautet die Kovarianzmatrix der Messungen:
2
Cd = σ ∙E (E = Einheitsmatrix).
Die Daten seien in einem Scanbereich der Länge n∙⌂, n = Zahl der
Datenpunkte, ⌂ = Rasterabstand, gewonnen worden. Weiter nehmen wir
an, daß an den Enden des Scanbereichs f(x) praktisch gleich a1 ist.
Außerdem soll ⌂/a4 « 1 und n∙⌂/a4 » 1 sein.
Die für die Ausgleichung notwendigen Gleichungen lauten mit
┌ ┐
│ ┌ ┐2│ ┌ ┐
│ fo(x)-a10 fo(x)-a10 x-a30 fo(x)-a10 │x-a30│ │ │a1-a10│
z(xi) = │ 1, ─────────, ─────────∙─────, ─────────∙│─────│ │∙│a2-a20│ + vi , (2)
│ a20 a40 a40 a40 │ a40 │ │ │a3-a30│
│ └ ┘ │ │a4-a40│
└ ┘ └ ┘
i = 1,...,n, foi = fo(xi), z(xi) = d(xi) - foi,
dabei stellen die vi die scheinbaren Fehler dar. Es sei noch
bemerkt, daß die z(xi) dieselbe Kovarianzmatrix haben wie die
d(xi): CZ = CD . In Matrizenschreibweise lauten die Gleichungen
(2):
Z = F∙δA + V .
Die Lösung erfolgt iterativ, wobei die aj0, j=1,2,3,4, die
Anfangswerte für den jeweiligen Iterationsschritt darstellen. Im
Falle der Konvergenz ist aj0 = aj. Deshalb schreiben wir im
folgenden nur aj statt aj0. Die Kovarianzmatrix der zu
bestimmenden Koeffizienten
┌ ┐
│a1│
A = │a2│
│a3│
│a4│
└ ┘
ergibt sich nach der MkF zu:
2 ┌ t ┐-1
CA = σ ∙│F ∙F│ .
└ ┘
t
Für F ∙F erhalten wir die symmetrische Matrix
┌ ┐
│ ┌ ┐2 │
│ fi-a1 fi-a1 xi-a3 fi-a1 │xi-a3│ │
│ n Σ ───── Σ ─────∙───── Σ ─────∙│─────│ │
│ i a2 i a4 a4 i a4 │ a4 │ │
│ └ ┘ │
│ │
│ 2 2 2 ┌ ┐2 │
│ (fi-a1) (fi-a1) xi-a3 (fi-a1) │xi-a3│ │
│ * Σ ──────── Σ ────────∙───── Σ ────────∙│─────│ │
│ i a2² i a2∙a4 a4 i a2∙a4 │ a4 │ │
t │ └ ┘ │
F ∙F = │ │
│ 2 ┌ ┐2 2 ┌ ┐3 │
│ (fi-a1) │xi-a3│ (fi-a1) │xi-a3│ │
│ * * Σ ────────∙│─────│ Σ ────────∙│─────│ │
│ i a4² │ a4 │ i a4² │ a4 │ │
│ └ ┘ └ ┘ │
│ │
│ 2 ┌ ┐4 │
│ (fi-a1) │xi-a3│ │
│ * * * Σ ────────∙│─────│ │
│ i a4² │ a4 │ │
│ └ ┘ │ .
└ ┘
Da nach Voraussetzung ⌂/a4 « 1 ist, können wir für die in den
Summen Auftretenden Ausdrücke Integralausdrücke setzen, so z. B.
2 2 xi+⌂/2
(fi-a1) (fi-a1) 1 1 ⌠
für ──────── : ──────── ≈ ───∙─∙│ (f(x)-a1)²∙dx usw.
a2² a2² a2² ⌂ ⌡
xi-⌂/2
Da ferner nach Voraussetzung an den Rändern des Scanbereichs f(x)
praktisch gleich a1 ist, können wir bei der Summation der
Integrale diese von -∞ bis +∞ erstrecken, so z. B. für
2 2 xi+⌂/2 +∞
(fi-a1) (fi-a1) 1 1 ⌠ 1 ⌠ (fi-a1)²
Σ ──────── : Σ ──────── ≈ Σ ───∙─∙│ (fi-a1)²∙dx ≈ ─∙│ ────────∙dx
i a2² i a2² i a2² ⌂ ⌡ ⌂ ⌡ a2²
xi-⌂/2 -∞
+∞ ┌ ┐
1 ⌠ │ ┌ (x-a3)² ┐│
= ─∙│ exp│-│ ─────── ││∙dx .
⌂ ⌡ │ └ a4² ┘│
-∞ └ ┘
2
(fi-a1) a4∙√π
Wir erhalten so: Σ ──────── = ───── .
i a2² ⌂
Wir wollen hier von der Bestimmung der anderen Summen absehen und
t
sogleich das Ergebnis für F ∙F aufschreiben:
┌ ┐
│ n∙⌂ │
│ ─── a4√2 0 a2√2 │
│ √π │
│ │
│ a2 │
│ a4√2 a4 0 ── │
t √π │ 2 │
F ∙F = ──∙│ │
⌂ │ a2² │
│ 0 0 ─── 0 │ .
│ 2a4 │
│ │
│ a2 3a2² │
│ a2√2 ── 0 ──── │
│ 2 4a4 │
└ ┘
┌ t ┐-1
Wir erhalten für die inverse Matrix │ F ∙F │ :
└ ┘
┌ ┐
│ √π -√(π/2) -2a4√(2π) │
│ ──────── ──────── 0 ──────────── │
│ n⌂-3a4√π n⌂-3a4√π a2(n⌂-3a4√π) │
│ │
│ n⌂-8a4√π -(n⌂-4a4√π) │
│ * ──────────── 0 ──────────── │ ,
┌ t ┐-1 ⌂ │ a4(n⌂-3a4√π) a2(n⌂-3a4√π) │
│ F ∙F │ = ───∙│ │
└ ┘ √π │ 2a4 │
│ * * ──── 0 │
│ a2² │
│ │
│ 2a4(n⌂-2a4√π) │
│ * * * ───────────── │
│ a2²(n⌂-3a4√π) │
└ ┘
und daher erhalten wir für die Kovarianzmatrix CA:
┌ ┐
│ √π -√(π/2) -2a4√(2π) │
│ ──────── ──────── 0 ──────────── │
│ n⌂-3a4√π n⌂-3a4√π a2(n⌂-3a4√π) │
│ │
│ n⌂-8a4√π -(n⌂-4a4√π) │
│ * ──────────── 0 ──────────── │
σ²∙⌂ │ a4(n⌂-3a4√π) a2(n⌂-3a4√π) │
CA = ────∙│ │
√π │ 2a4 │
│ * * ──── 0 │
│ a2² │
│ │
│ 2a4(n⌂-2a4√π) │
│ * * * ───────────── │
│ a2²(n⌂-3a4√π) │
└ ┘
Wenn wir noch beachten, daß nach Voraussetzung f(x) ganz in Scan-
bereich liegt und daher in allen Gliedern mit n⌂ der Rest mit √π
entfallen kann, so können wir die Kovarianzmatrix auch schreiben:
┌ ┐
│ √π -√(π/2) -2a4√(2π) │
│ ── ─────── 0 ───────── │
│ n⌂ n⌂ a2n⌂ │
│ │
│ 1 -1 │
│ * ── 0 ── │
σ²∙⌂ │ a4 a2 │
CA = ────∙│ │
√π │ 2a4 │
│ * * ──── 0 │
│ a2² │
│ │
│ 2a4 │
│ * * * ─── │
│ a2² │ .
└ ┘
σ²∙⌂ 2a4
Damit lautet die Varianz der Position a3: σ² = ────∙─── und daher:
a2² √π
┌──────────────────────┐
│ ┌ ┐½ │
│ σ∙√⌂ │2a4│ │
│ σ(a3) = ────∙│───│ │
│ a2 │ √π│ │
│ └ ┘ │
└──────────────────────┘
Wir bemerken:
1) Die Größe σ∙√⌂ ist eine nur von der Platte abhängige Größe.
Vergrößert man ⌂ um das Vierfache, so verringert sich σ auf den
halben Wert, damit bleibt σ∙√⌂ konstant.
2) Die Größe des Scanbereichs spielt keine Rolle, solange nur f(x)
ganz innerhalb des Bereichs liegt.
3) Die Genauigkeit der Position für Sterne gegebener Helligkeit
(=a2) hängt auch von der Größe des Bildes (=a4) ab!