Die Lösung des Zweikörperproblems nach dem
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Newtonschen Gravitationsgesetz
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Die Ortsvektoren der Massen m1 und m2 seien r1 und r2. Die Masse
m2 werde durch den Vektor r := r2 - r1 relativ zur Masse m1
beschrieben.
Die auf die Masse m2 bzw. m1 ausgeübte Gravitationskraft Fg2 bzw
Fg1 in Abhängigkeit vom Vektor r ist:
G∙m1∙m2 G∙m1∙m2
Fg2(r) = - ───────∙r bzw. Fg1(r) = ───────∙r . (1)
│r│^3 │r│^3
Die Trägheitskraft Ft1 bzw Ft2 der Masse m1 bzw. m2 ist:
d²r1 d²r2
Ft1 = -m1∙──── bzw. Ft2 = -m2∙──── . (2)
dt² dt²
Die Summe von Trägheitskraft der Masse m2 bzw. m1 und der auf sie
wirkenden Gravitationskraft Fg2 bzw. Fg1 muß gleich Null sein:
d²r2 G∙m1∙m2
m2∙──── + ───────∙r = 0 bzw. (3)
dt² │r│^3
d²r1 G∙m1∙m2
m1∙──── - ───────∙r = 0 . (4)
dt² │r│^3
Dividiert man Gleichung (3) mit m2 und Gleichung (4) mit m1 und
subtrahiert anschließend (4) von (3), so erhält man:
d²r G∙(m1+m2)
─── + ─────────∙r = 0 , (5)
dt² │r│^3
d²r G∙M
─── + ─────∙r = 0 mit M := m1 + m2 und (6)
dt² │r│^3 r := r2 - r1 .
Wir betrachten daher im folgenden die Bewegung vom m2 relativ zu
m1 entsprechend Gleichung (6).
Multipliziert man (6) vektoriell mit r, so folgt:
d²r d ┌ dr ┐
r x ─── = ── │ r x ── │ = 0 , und daher: (7)
dt² dt └ dt ┘
dr
r x ── = C (const.) . Da außerdem: (8)
dt
dr
C∙r = 0 und C∙── = 0 , (9)
dt
erfolgt die Bewegung in einer Ebene senkrecht zu C. Multipliziert
man (6) mit C, so erhält man:
d²r G∙M ┌ dr ┐
─── x C = -─────∙│ r x ( r x ── ) │ ,
dt² │r│^3 └ dt ┘
d ┌ dr ┐ ┌ r ┌ dr ┐ dr r² ┐
── │ ── │ x C = -G∙M∙│ ─────∙│ r∙── │ - ──∙───── │ . (10)
dt └ dt ┘ └ │r│^3 └ dt ┘ dt │r│^3 ┘
Da
r dr d│r│
───∙── = ──── ,
│r│ dt dt
folgt für die rechte Seite von (10):
┌│r│ dr r d│r│┐ d┌ r ┐
G∙M∙│───∙── - ───∙────│ = G∙M∙──│ ─── │ ,
└ r² dt r² dt ┘ dt└ │r│ ┘
so daß man nach Integration über t schließlich erhält:
dr ┌ r ┐
── x C = G∙M∙│ ─── + e∙P │ , (11)
dt └ │r│ ┘
mit dem konstanten Vektor P, │P│ = 1, e eine skalare Konstante.
Da r senkrecht auf C steht, muß auch P senkrecht auf C stehen,
also in der Bahnebene liegen. Durch skalare Multiplikation von
(11) mit r erhält man die Bahngleichung:
┌ dr ┐ ┌ dr ┐ ┌ r ┐
r∙│ ── x C │ = C∙│ r x ── │ = C² = G∙M∙│r│∙│ 1 + e∙(P∙───) │.
└ dt ┘ └ dt ┘ └ │r│ ┘
Bezeichnen wir den in der Bahnebene liegenden Winkel zwischen P
und r mit τ, so läßt sich │r│ als Funktion von τ (Bahngleichung)
beschreiben:
C² 1
│r│ = ───∙────────────── , ( e ≥ 0 ) . (12)
G∙M 1 + e∙cos(τ)
Die Zeitabhängigkeit erhalten wir über die Integration des sog.
Flächensatzes (8) (da │C│∙dt = 2∙dA = r²∙dτ):
⌠τ1
C∙(t-to) = │ r²∙dτ . (13)
⌡τo
Zur Lösung von (13) führt man folgende Transformationen ein:
┌
│ a∙(cos(E) - e) ( e < 1, a > 0 )
│r│∙cos(τ) = │ (14)
│ a∙(e - cosh(F) ) ( e > 1, a > 0 ), und
└
┌
│ a∙sqrt(1-e²)∙sin(E) ( e < 1, a > 0 )
│r│∙sin(τ) = │ (15)
│ a∙sqrt(e²-1)∙sinh(F) ( e > 1, a > 0 ),
└
so daß │r│ = a∙(1-e∙cos(E)) für e < 1 bzw. │r│ = a∙(e∙cosh(F)-1)
für e > 1, so erhält man durch Differentiation von sin(τ) bzw.
sinh(τ) nach E bzw. F:
dτ sqrt(1-e²) dτ sqrt(e²-1)
── = ──────────── , ── = ───────────── , (16)
dE 1 - e∙cos(E) dE e∙cosh(F) - 1
so erhält man durch Einführung von (16) in (13) mit
C = sqrt(G∙M∙a∙(1-e²)) bzw. C = sqrt(G∙M∙a∙(e²-1)) die
Keplergleichung für e < 0 bzw. e > 0:
sqrt(G∙M/a^3)∙(t-to) = (E-e∙sin(E)) - (Eo-e∙sin(Eo)) ,
(17)
sqrt(G∙M/a^3)∙(t-to) = (e∙sih(F)-F) - (e∙sih(Fo)-Fo) .
Für die Parabelbahn, d.h. e = 1, erhalten wir, wenn die Bahn-
gleichung mit dem Perihelabstand p geschrieben wird:
2∙p p
│r│ = ──────────── bzw. │r│ = ────────── , (18)
1 - cos(τ) cos^2(τ/2)
und da nach (12):
C²
p = ───── bzw. C = sqrt(2∙G∙M∙p) ,
2∙G∙M
erhält man über die Integration (13):
1
sqrt(4∙G∙M/p^3)∙(t-to) = tg(τ/2) + ─∙tg^3(τ) . (19)
3
Damit sind die Bahnen als Funktionen der Zeit beschrieben.