Finden von Sternen in einem CCD-File
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Wenn man "hot pixels" nicht als Stern deuten will, dann muß man
annehmen, daß ein Stern sich in x- und y-Richtung von Untergrund
um mindestens 3 Pixel hervorhebt. Man kann dann versuchen den
Stern in einem 3x3-Pixelfeld durch ein Paraboloid darzustellen und
so eine Abschätzung bzw. Vorschätzung für den sich später
anschließenden Fit zu bekommen. Außerdem können vermutlich auch
schlecht definierte Sterne (z. B. Blends) ausgeschlossen werden.
Wir betrachten ein 3x3-Pixelfeld:
x -->
┌───────┬───────┬───────┐
│ 1 │ 4 │ 7 │
│ │ │ │
│(-1,-1)│( 0,-1)│( 1,-1)│
├───────┼───────┼───────┤
y │ 2 │ 5 │ 8 │
│ │ │ │
│ │(-1, 0)│( 0, 0)│( 1, 0)│
\│/ ├───────┼───────┼───────┤
│ 3 │ 6 │ 9 │
│ │ │ │
│(-1, 1)│( 0, 1)│( 1, 1)│
└───────┴───────┴───────┘
┼───────┼
laufender Index ──>│ i │
│ │
│( x, y)│<── Pixelkoordinaten
┼───────┼
Ein Sternbild können wir durch eine einfache Gaußfunktion
darstellen:
┌ (xi-x0)² + (yi-y0)² ┐
zi = a + b∙exp│─────────────────────│ (1)
└ -2∙σ² ┘
Wenn der Betrag des Exponenten klein gegen 1 ist, so können wir in
linearer Näherung auch schreiben:
┌ (xi-x0)² + (yi-y0)² ┐
zi = a + b∙│ 1 - ───────────────────── │
└ 2∙σ² ┘
b
= a + b - ────∙( x0²+y0² - 2∙x0∙xi - 2∙y0∙yi +xi²+yi² )
2∙σ²
b∙(x0²+y0²) b∙x0 b∙y0 b
zi = a + b - ─────────── + ────∙xi + ────∙yi - ────∙(xi²+yi²) (2)
2∙σ² σ² σ² 2∙σ²
zi = a1 + a2∙xi + a3∙yi + a4∙(xi²+yi²) . (3)
Ein Vergleich von (2) mit (3) führt zu folgender Koeffizienten-
bestimmung aus den ermittelten aj, j=1,4:
b∙(x0²+y0²)
a1 = a + b - ─────────── (4)
2∙σ²
b∙x0
a2 = ──── (5)
σ²
b∙y0
a3 = ──── (6)
σ²
b
a4 = -──── (7)
2∙σ²
Es folgt:
┌───────────────────────────────────────────────────────┐
│ │
│ b a2 a3 │
│ ── = -2∙a4 , x0 = -──── , y0 = -──── , │
│ σ² 2∙a4 2∙a4 │
│ │
│ │
│ a2² + a3² │
│ a+b = a1 - ───────── ( = Maximum des Sternbildes ) │
│ 4∙a4 │
└───────────────────────────────────────────────────────┘
Der Hintergrund a und die Größe des Sternes (ohne Hintergrund) b
lassen sich offenbar nicht explizit bestimmen. Wichtig ist, daß
b/σ² positiv und damit a4 negativ sein muß. Außerdem muß sich b
deutlich aus dem Rauschen abheben, z.B. größer als 3∙√(a+b) bei
Poissonstatistik sein. Es sollte also gelten:
b > 3∙√(a+b)
┌ a2² + a3²┐
-2∙a4∙σ² > 3∙√│a1 - ─────────│
└ 4∙a4 ┘
┌─────────────────────────────────┐
│ -3 ┌ a2² + a3²┐ │
│ a4 < ────∙√│a1 - ─────────│ │
│ 2∙σ² └ 4∙a4 ┘ │
└─────────────────────────────────┘