Kurven zweiter Ordnung zu gegebenen Punkten
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
in der Ebene
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
0) Vorbemerkung zu Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel
-------------------------------------------------
Es soll gezeigt werden, wie zu gegebenen Punkten in der Ebene
optimal und eindeutig eine Kurve zweiter Ordnung bestimmt werden
kann. Dabei sollen nur 'echte' Kurven zweiter Ordnung betrachtet
werden, also Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Es sind dies
Kurven zweiter Ordnung, deren Krümmung ungleich Null ist. Zur
Beschreibung von Ellipse oder Hyperbel braucht man fünf Parameter
(Mittelpunkt, Haupt- und Nebenachse, Drehwinkel), für eine Parabel
benötigt man vier, und für einen Kreis als Sonderfall der Ellipse
nur drei. Übrigens sind diese Kurven gerade jene, die eine
schwere Punktmasse in einem gravitativen Zentralkraftfeld nach der
klassischen Mechanik ausführt, wenn ihr Drehimpuls ungleich Null
ist. Alle anderen Lösungsmöglichkeiten, wie z. B. Geraden,
sollen hier nicht betrachtet werden.
1) Die Parameterbestimmung in kartesischen Koordinaten
---------------------------------------------------
Jede beliebige Kurve bis zu maximal zweiter Ordnung kann in der
Ebene in kartesischen Koordinaten x,y beschrieben werden durch
eine Gleichung zweiter Ordnung in x und y von der Form:
a1∙x² + a2∙x∙y + a3∙y² + a4∙x + a5∙y + a6 = 0 . (1)
Offenbar sind die Koeffizienten
┌ ┐
│ a1 │
│ ∙ │
a := │ ∙ │
│ ∙ │
│ a6 │
└ ┘
nur bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt, wir können daher
ohne Einschränkung der Lösungsmöglichkeiten als Nebenbedingung
z.B. die folgende Normierung fordern:
6 T
Σ ai² = 1 bzw. in Vektorschreibweise: a ∙a = 1 . (2)
i=1
Es sind also fünf unabhängige Unbekannte zu bestimmen, anders
ausgedrückt: mindestens fünf Punkte sind zur Bestimmung einer
Kurve zweiter Ordnung nötig. Im folgenden wollen wir stets
voraussetzen, daß für die Zahl n der Punkte gelte:
n ≥ 5 . (3)
In Matrizenschreibweise haben wir für n Punkte folgende
Gleichungen:
┌ ┐
│ x1² x1∙y1 y1² x1 y1 1 │ ┌ ┐
│ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │ a1 │
│ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │ ∙ │ T
│ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │∙│ ∙ │ = 0 und a ∙a = 1 ,
│ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │ ∙ │
│ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │ a6 │
│ xn² xn∙yn yn² xn yn 1 │ └ ┘
└ ┘
was auch geschrieben werden kann:
┌───────────────┐
│ M∙a = 0 mit │
│ │ (4)
│ T │
│ a ∙a = 1 │
└───────────────┘ .
Sind genau fünf Punkte gegeben, so läßt sich (4) stets lösen, alle
Punkte liegen exakt auf der Kurve (bei der Hyperbel besteht die
Kurve aus zwei Ästen). Sind mehr als fünf Punkte gegeben (n > 5),
so läßt sich im allgemeinen keine Kurve zweiter Ordnung mehr durch
alle Punkte legen. Wir wollen uns dann aber bemühen, eine Kurve
zweiter Ordnung (also Koeffizienten a) zu den n Punkten zu finden,
die (4) zwar nicht mehr erfüllt, die aber möglichst kleine
Abweichungen zu (4) aufweist. Wir schreiben (4) mit einer
zulässigen Abweichung v auf:
┌───────────────┐
│ M∙a = v mit │
│ │ (5)
│ T │
│ a ∙a = 1 │
└───────────────┘ .
Wir wollen nun eine Lösung a˜͂ zu (5) so suchen, daß die
gewichtete Summe Q der Abweichungsquadrate minimal wird:
T T
Q := v ∙W∙v ──> minimal, mit a˜͂ ∙a˜͂ = 1 , (6)
dabei sei W eine gegebene (positiv definite und symmetrische)
Gewichtsmatrix und a˜͂ der zu bestimmende Lösungsvektor. Übrigens
bedeutet die Bedingung (6) nicht, daß die Summe der Quadrate der
Abstände zwischen Punkten und Kurve minimal wird, nur im Falle des
Kreises als Lösung trifft das zu. Indem wir v aus (5) in (6)
einsetzen, kann unser Minimumproblem auch so geschrieben werden:
┌─────────────────────────────────┐
│ T T │
│ Q = a˜͂ ∙M ∙W∙M∙a˜͂ ──> min. mit │
│ │ (7)
│ T │
│ a˜͂ ∙a˜͂ - 1 = 0 │
└─────────────────────────────────┘ .
Da wir ein Gleichungssystem mit sechs Unbekannten und einer
Nebenbedingung haben, bietet sich zur Lösung z.B. die Methode der
Lagrangeschen Multiplikatoren an, die Lagrangefunktion ist:
T T ┌ T ┐
L := a˜͂ ∙M ∙W∙M∙a˜͂ - Φ∙│a˜͂ ∙a˜͂ -1│ ,
└ ┘
mit Φ als Lagrangeschem Multiplikator. Eine notwendige Bedingung
ist, daß die Ableitungen von L nach allen Vektorkomponenten a˜͂i
(i=1..6) Null sind (unter der Nebenbedingung (2)), d. h.:
┌──────────────────────┐
│ T │
│ M ∙W∙M∙a˜͂ - Φ∙a˜͂ = 0 │
│ │ (8)
│ T │
│ mit a˜͂ ∙a˜͂ - 1 = 0 │
└──────────────────────┘ .
(8) ist ein typisches Eigenwertproblem, nämlich die Bestimmung von
Eigenvektoren (a˜͂)τ mit zugehörigen Eigenwerten Φτ (τ = Nummer des
Eigenwertes bzw. Eigenvektors) der reell symmetrischen Matrix:
T
M ∙W∙M .
Das Verfahren nach Jacobi z.B. (Jacobirotationen) liefert alle
Eigenwerte Φτ (die übrigens alle reell und größer oder gleich Null
sind, da die Matrix reell, symmetrisch und positiv definit oder
semidefinit ist) mit den zugehörigen Eigenvektoren (a˜͂)τ.
Multipliziert man die erste Gleichung von (8) für einen
Eigenvektor (a˜͂)τ von links mit dem transponierten des
Eigenvektors, so erhält man ein Qτ:
T T T
Qτ = (a˜͂)τ ∙M ∙W∙M∙(a˜͂)τ = Φτ∙(a˜͂)τ ∙(a˜͂)τ = Φτ ,
und man sieht, daß die Lösung (a˜͂)τ mit kleinster
Fehlerquadratsumme Qτ diejenige mit kleinstem zugehörigen
Eigenwert Φτ ist. Die Minimallösung ist also der Eigenvektor
(a˜͂)τ, der den kleinsten zugehörigen Eigenwert besitzt. Außerdem
ist damit gezeigt, daß im Sinne der Minimumsbedingung (6) immer
eine Kurve zweiter Ordnung durch n ≥ 5 Punkte gefunden werden
kann, die (5) mit minimalen Fehlern erfüllt.
2) Kreis, Ellipse und Hyperbel
---------------------------
Jetzt geht es darum, aus den Parametern a˜͂ die Kurve genauer zu
klassifizieren und jeweils eine bequeme Darstellungsweise, z. B.
eine in Polarkoordinaten, zu finden. Betrachten wir zwei
gegeneinander gedrehte kartesische Koordinatensysteme Σ und Σ' mit
demselben Ursprung. Das System Σ' sei gegenüber dem Σ-System um
den Winkel Θ gedreht. Ein Punkt habe in Σ die Koordinaten x,y, in
Σ' die Koordinaten x',y'. Die Transformation zwischen x,y und
x',y' wird dann durch folgende Matrizengleichung beschrieben:
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ x │ │ cos(Θ) -sin(Θ) │ │ x'│
X = │ │ = │ │∙│ │ = D∙X' (9)
│ y │ │ sin(Θ) cos(Θ) │ │ y'│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
-1 T
oder, da D = D :
┌─────────────────────────────┐
│ T │ (10)
│ X = D∙X' bzw. X' = D ∙X │
└─────────────────────────────┘ .
Die Gleichung einer im Ursprung zentrierten Ellipse oder Hyperbel
mit Hauptachse in x'-Richtung lautet in Koordinaten des Σ'-Systems
in Matrizenschreibweise:
┌────────────────────────────────────────┐
│ ┌ ┐ │
│ T │ a 0 │ │
│ X' ∙E∙X' = 1 mit E = │ │ und │
│ │ 0 b │ │
│ └ ┘ │
│ │ (11)
│ 0 < a ≤ b für eine Ellipse, │
│ │
│ 0 < a und b < 0 für eine Hyperbel, │
│ │
│ (und damit |E| = a∙b ╪ 0) │
│ │
└────────────────────────────────────────┘ .
Mittels (10) können wir (11) in das Σ System transformieren:
┌──────────────────────────────────────────────────┐
│ T T │
│ X ∙F∙X = 1 , F = D∙E∙D , │
│ │
│ ┌ ┐ │ (12)
│ │ a∙cos²(Θ)+b∙sin²(Θ) (a-b)∙cos(Θ)∙sin(Θ) │ │
│ F = │ │ │
│ │ (a-b)∙cos(Θ)∙sin(Θ) a∙sin²(Θ)+b∙cos²(Θ) │ │
│ └ ┘ │
└──────────────────────────────────────────────────┘ .
Nun nehmen wir zusätzlich an, der Mittelpunkt der Kurve liege
nicht im Ursprung, sondern an dem Ort Xo:
┌ ┐
│ xo │
Xo := │ │ (13)
│ yo │
└ ┘ .
Damit lautet (12) dann:
T
(X - Xo) ∙F∙(X - Xo) - 1 = 0 . (14)
Wir schreiben (14) explizit auf:
T T T
X ∙F∙X - 2∙X ∙F∙Xo + Xo ∙F∙Xo - 1 = 0 ,
was aufgelöst ergibt:
x²∙(a∙cos²(Θ)+b∙sin²(Θ))
+ 2∙x∙y∙(a-b)∙cos(Θ)∙sin(Θ)
+ y²∙(a∙sin²(Θ)+b∙cos²(Θ))
- 2∙x∙xo∙(a∙cos²(Θ)+b∙sin²(Θ))-2∙x∙yo∙(a-b)∙cos(Θ)∙sin(Θ)
(15)
- 2∙y∙xo∙(a-b)∙cos(Θ)∙sin(Θ)-2∙y∙yo∙(a∙sin²(Θ)+b∙cos²(Θ))
+ xo²∙(a∙cos²(Θ)+b∙sin²(Θ))
+ 2∙xo∙yo∙(a-b)∙cos(Θ)∙sin(Θ)
+ yo²∙(a∙sin²(Θ)+b∙cos²(Θ)) - 1 = 0 .
Durch Koeffizientenvergleich von (1) mit (15) finden wir, bis auf
einen unbekannten Faktor k ungleich Null, wie die Koeffizienten
(a˜͂)i mit den zu bestimmenden Parametern (a,b,Θ,xo,yo)
zusammenhängen:
(a˜͂)1 = k∙(a∙cos²(Θ)+b∙sin²(Θ)) (16)
(a˜͂)2 = k∙2∙(a-b)∙cos(Θ)∙sin(Θ) (17)
(a˜͂)3 = k∙(a∙sin²(Θ)+b∙cos²(Θ)) (18)
(a˜͂)4 = -2∙xo∙(a˜͂)1 -yo∙(a˜͂)2 (19)
(a˜͂)5 = -xo∙(a˜͂)2 - 2∙yo∙(a˜͂)3 (20)
(a˜͂)6 = xo²∙(a˜͂)1 + xo∙yo∙(a˜͂)2 + yo²∙(a˜͂)3 - k . (21)
Aus den Gleichungen (16) bis (21) folgt nun:
(16)+(18): (a˜͂)1 + (a˜͂)3 = k∙(a+b) , (22)
(16)-(18): (a˜͂)1 - (a˜͂)3 = k∙(a-b)∙cos(2∙Θ) , (23)
(17) : (a˜͂)2 = k∙(a-b)∙sin(2∙Θ) , (24)
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ -(a˜͂)4 │ │ 2∙(a˜͂)1 (a˜͂)2 │ │ xo │
(19),(20): │ │ = │ │∙│ │ , (25)
│ -(a˜͂)5 │ │ (a˜͂)2 2∙(a˜͂)3 │ │ yo │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
(21) : (a˜͂)6 = xo²∙(a˜͂)1 + xo∙yo∙(a˜͂)2 + yo²∙(a˜͂)3 - k. (26)
Die Matrizengleichung (25) läßt sich nach Xo auflösen:
┌────────────────────────────────────────────────┐
│ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ │
│ │ xo │ 1 │ 2∙(a˜͂)3 -(a˜͂)2 │ │ -(a˜͂)4 │ │
│ │ │ = ───∙│ │∙│ │ │
│ │ yo │ Det │ -(a˜͂)2 2∙(a˜͂)1 │ │ -(a˜͂)5 │ │ (27)
│ └ ┘ └ ┘ └ ┘ │
│ │
│ mit Det := 4∙(a˜͂)1∙(a˜͂)3 -[(a˜͂)2]² (=4∙k²∙|E|)│
└────────────────────────────────────────────────┘ .
Über (26) ist dann auch k bekannt. Da aus (23) und (24) folgt:
┌ ┐½
α := sign(k)∙│[(a˜͂)1-(a˜͂)3]² + [(a˜͂)2]²│ = k∙(a-b) , (28)
└ ┘
und da (22) ist:
ß := (a˜͂)1 + (a˜͂)3 = k∙(a+b) , (29)
folgt dann für a und b:
┌─────────────────────────┐
│ ß + α ß - α │
│ a = ───── , b = ───── │ (30)
│ 2∙k 2∙k │
└─────────────────────────┘ .
Wenn a ╪ b und damit entweder (a˜͂)1 ╪ (a˜͂)3 oder (a˜͂)2 ╪ 0, dann
läßt sich der Winkel Θ nach (23) und (24) bestimmen, sonst ist
(a˜͂)1 = (a˜͂)3 und (a˜͂)2 = 0, was den Winkel unbestimmbar macht,
wir setzen ihn dann willkürlich gleich Null:
┌──────────────────────────────────────────────────────┐
│ Θ = ½∙atan2((a˜͂)2,(a˜͂)1-(a˜͂)3 ) für │
│ │
│ (a˜͂)1 ╪ (a˜͂)3 oder (a˜͂)2 ╪ 0 (Ellipse,Hyperbel), │
│ │ (31)
│ Θ = 0 für │
│ │
│ (a˜͂)1 = (a˜͂)3 und (a˜͂)2 = 0 (Kreis) │
└──────────────────────────────────────────────────────┘ .
Damit sind alle Parameter von Kreis, Ellipse oder Hyperbel
bestimmt.
3) Die Parabel
-----------
Entsprechend der Behandlung von Kreis, Ellipse und Hyperbel sieht
die Darstellung einer Parabel im Ursprung des Σ'-Systems, die
Hauptachse der Parabel in positiver x'-Richtung, wie folgt aus:
y'²∙p - x' = 0 mit p > 0 , (32)
dabei ist p der einzige Parameter zur Charakterisierung der
Parabel. Führen wir die Matrix P und den Vektor N ein:
┌ ┐ ┌ ┐
│ 0 0 │ │ 1 │
P := │ │ , N := │ │ , (33)
│ 0 p │ │ 0 │
└ ┘ └ ┘
so können wir in Matrizenschreibweise die Parabel beschreiben:
┌───────────────────────────────────────────┐
│ T T │
│ X' ∙P∙X' - X' ∙N = 0 mit │
│ │
│ ┌ ┐ ┌ ┐ │ (34)
│ │ 0 0 │ │ 1 │ │
│ P = │ │ und N = │ │ , p > 0 , │
│ │ 0 p │ │ 0 │ │
│ └ ┘ └ ┘ |P| = 0 │
└───────────────────────────────────────────┘ .
Ganz analog zum Abschnitt 2) transformieren wir nun (34) in das
Σ-System mittels (10), wir erhalten:
┌───────────────────────────────────────────────────────┐
│ T T │
│ X ∙G∙X - X ∙H = 0 mit │
│ │
│ ┌ ┐ │
│ T │ p∙sin²(Θ) -p∙cos(Θ)∙sin(Θ) │ │
│ G := D∙P∙D = │ │, │
│ │ -p∙cos(Θ)∙sin(Θ) p∙cos²(Θ) │ │ (35)
│ └ ┘ │
│ ┌ ┐ │
│ │ cos(Θ) │ │
│ H := D∙N = │ │ │
│ │ sin(Θ) │ │
│ └ ┘ │
└───────────────────────────────────────────────────────┘ .
Nun nehmen wir zusätzlich an, der Scheitelpunkt der Parabel liege
nicht im Ursprung, sondern am Ort Xo, (35) geht dann über in:
┌──────────────────────────────────────────┐
│ T T │ (36)
│ (X - Xo) ∙G∙(X - Xo) - (X - Xo) ∙H = 0 │
└──────────────────────────────────────────┘ .
Wir schreiben (36) explizit auf:
T T T T T
X ∙G∙X - 2∙X ∙G∙Xo + Xo ∙G∙Xo - X ∙H + Xo ∙H = 0 ,
was aufgelöst ergibt:
x²∙p∙sin²(Θ)
- 2∙x∙y∙p∙cos(Θ)∙sin(Θ)
+ y²∙p∙cos²(Θ)
- 2∙x∙xo∙p∙sin²(Θ) + 2∙x∙yo∙p∙cos(Θ)∙sin(Θ) - x∙cos(Θ)
(37)
+ 2∙y∙xo∙p∙cos(Θ)∙sin(Θ) - 2∙y∙yo∙p∙cos²(Θ) - y∙sin(Θ)
+ xo²∙p∙sin²(Θ)
- 2∙xo∙yo∙p∙cos(Θ)∙sin(Θ)
+ yo²∙p∙cos²(Θ)
+ xo∙cos(Θ) + yo∙sin(Θ) = 0 .
Durch Koeffizientenvergleich von (1) mit (37) finden wir, bis auf
einen unbekannten Faktor k ungleich Null, wie die Koeffizienten
(a˜͂)i mit den zu bestimmenden Parametern (p,Θ,xo,yo)
zusammenhängen:
(a˜͂)1 = k∙p∙sin²(Θ) (38)
(a˜͂)2 = -k∙2∙p∙cos(Θ)∙sin(Θ) (39)
(a˜͂)3 = k∙p∙cos²(Θ) (40)
(a˜͂)4 = -2∙xo∙(a˜͂)1 - yo∙(a˜͂)2 - k∙cos(Θ) (41)
(a˜͂)5 = -xo∙(a˜͂)2 - 2∙yo∙(a˜͂)3 - k∙sin(Θ) (42)
(a˜͂)6 = xo²∙(a˜͂)1 - xo∙yo∙(a˜͂)2 + yo²∙(a˜͂)3 (43)
+ k∙xo∙cos(Θ) + k∙yo∙sin(Θ) .
Zunächst stellen wir fest, daß gilt:
(a˜͂)3 + (a˜͂)1 = k∙p (44)
(a˜͂)3 - (a˜͂)1 = k∙p∙cos(2∙Θ) (45)
(a˜͂)2 = -k∙p∙sin(2∙Θ) . (46)
Da nach Voraussetzung (32) p > 0 ist, ist mit (44) das Vorzeichen
von k eindeutig gegeben.
Aus (45) und (46) ergibt sich:
2∙Θ = arctan[-(a˜͂)2,(a˜͂)3-(a˜͂)1] + L∙2π , L = 0,±1,±2,.. (47)
bis auf ganzzahlig Vielfaches des Summanden 2π. Daher kann für Θ
der Winkel nur bis auf ganzzahlig Vielfaches des Summanden π
angegeben werden:
Θ = ½∙arctan[-(a˜͂)2,(a˜͂)3-(a˜͂)1] + L∙π , L = 0,±1,±2,... (48)
wir nehmen zunächst L = 0 an.
Schreiben wir die beiden Gleichungen (41) und (42) als
Vektorgleichung mit den Definitionen:
┌ ┐ ┌ ┐
│ (a˜͂)1 ½∙(a˜͂)2 │ │ xo │
B := │ │ , X := │ │ , (49),(50)
│ ½∙(a˜͂)2 (a˜͂)3 │ │ yo │
└ ┘ └ ┘
┌ ┐ ┌ ┐
│ (a˜͂)4 │ │ cos(Θ) │
A := │ │ , H = │ │ siehe (35), (51),(52)
│ (a˜͂)5 │ │ sin(Θ) │
└ ┘ └ ┘
so erhalten wir:
-A = 2∙B∙X + k∙H . (53)
Da B reell und symmetrisch ist, gibt es genau zwei reelle
Eigenwerte e1,e2 mit zwei zugeordneten orthogonalen Eigenvektoren
U1,U2. Zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren setzen wir
(38), (39) und (40) in die Matrix B ein:
┌ ┐
│ sin²(Θ) -sin(Θ)∙cos(Θ) │
B = k∙p∙│ │ , (54)
│ -sin(Θ)∙cos(Θ) cos²(Θ) │
└ ┘
und man sieht sofort, daß die Determinante von B gleich 0 ist:
|B| = k∙p∙(sin²(Θ)∙cos²(Θ) - sin²(Θ)∙cos²(Θ)) = 0. (55)
Da also die Matrix singulär ist, muß ein Eigenwert gleich null
sein. Die Spur ist die Summe der Eigenwerte, also muß der andere
Eigenwert gleich k∙p sein, wir haben also:
e1 = k∙p, e2 = 0. (56)
Für den Eigenvektor zum Eigenwert e1 muß gelten:
┌ ┐
│ u11 │
B∙U1 = e1∙U1 = k∙p∙│ │ , also:
│ u12 │
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ sin²(Θ) -sin(Θ)∙cos(Θ) │ │ u11 │ │ u11 │
│ │∙│ │ = │ │ , (57)
│ -sin(Θ)∙cos(Θ) cos²(Θ) │ │ u12 │ │ u12 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌ ┐ ┌ ┐
│ u11∙sin²(Θ) - u12∙sin(Θ)∙cos(Θ) │ │ u11 │
│ │ = │ │ ,
│ -u11∙sin(Θ)∙cos(Θ) + u12∙cos²(Θ) │ │ u12 │
└ ┘ └ ┘
┌ ┐
│ u11∙(sin²(Θ) - 1) - u12∙sin(Θ)∙cos(Θ) │
│ │ = 0 ,
│ -u11∙sin(Θ)∙cos(Θ) + u12∙(cos²(Θ) - 1) │
└ ┘
┌ ┐
│ -u11∙cos²(Θ) - u12∙sin(Θ)∙cos(Θ) │
│ │ = 0 .
│ -u11∙sin(Θ)∙cos(Θ) - u12∙sin²(Θ) │
└ ┘
Ist cos(Θ) ungleich null, so folgt aus der ersten Gleichung:
u11 sin(Θ)
─── = ─────── ,
u12 -cos(Θ)
so daß sich für den auf 1 normierten Eigenvektor U1 ergibt:
┌ ┐
│ sin(Θ) │
U1 = │ │ . (58)
│ -cos(Θ) │
└ ┘
Wie man durch Einsetzen in (57) feststellt, gilt dieser
Eigenvektor für beliebige Θ. Da der zweite Eigenvektor U2
orthogonal zu U1 sein muß, folgt:
┌ ┐
│ cos(Θ) │
U2 = │ │ . (59)
│ sin(Θ) │
└ ┘
Der Vektor X - siehe (50) - kann durch Linearkombination der
Eigenvektoren dargestellt werden:
X = α∙U1 + ß∙U2 , (60)
und wegen (56) folgt für die Gleichung (53) dann:
-A = 2∙B∙[α∙U1 + ß∙U2] + k∙H , (61)
-A = 2∙α∙e1∙U1 + k∙H . (62)
Seien nun U1* und H* jeweils zu U1 und H transponierte orthogonale
Vektoren, so daß
U1*∙U1 = 0 und
H* ∙H = 0 .
Multipliziert man Gleichung (62) mit U1* bzw. H*, dann folgt:
-U1*∙A = k∙U1*∙H ,
-H*∙A = 2∙α∙e1∙H*∙U1 = 2∙α∙H*∙U1 ,
┌────────────────┐
│ -U1*∙A │
│ k = ─────── │ (63)
│ U1*∙H │
│ │
│ -H*∙A │
│ α = ─────── │ (64)
│ 2∙H*∙U1 │
└────────────────┘ .
Da aus (44) das Vorzeichen von k∙p festliegt, kann nun der Winkel
Θ aus (47) genau festgelegt werden: ist sign(k) aus (61) ungleich
sign(k∙p) aus (44), so ist statt Θ der Winkel Θ + π zu nehmen.
(wird noch ergänzt)