Die theoretische PLC-Beziehung der δ-Cepheiden
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Betrachten wir Cepheiden im HR-Diagramm, z. B. beim ersten Durch-
wandern des Instabilitätsstreifens. Dann kann man genähert auch
für Cepheiden eine Masse-Leuchtkraft-Beziehung angeben:
α
L = c∙M bzw. lg(L) = α∙lg(M) + const. , 3.5 ≤ α ≤ 4.5 . (1)
Das Stephan-Boltzmann-Gesetz lautet:
2 4
L = c∙R ∙T bzw. lg(L) = 2∙lg(R) + 4∙lg(T) + const. . (2)
Als dritte Formel verwenden wir den Ausdruck für die sogen.
Pulsationskonstante Q, nämlich den Zusammenhang zwischen radialer
Grundschwingungsperiode P und mittlerer Dichte:
┌ ┐½
│ M │ 1 3
Q = c∙P∙│─────│ bzw. lg(P) + ─∙lg(M) - ─∙lg(R) = const. (3)
│ 3 │ 2 2
└ R ┘
Aus (1) folgt:
1
lg(M) = ─∙lg(L) + const. , (4)
α
was in (3) eingesetzt ergibt:
1 3
lg(P) + ───∙lg(L) - ─∙lg(R) = const. . (5)
2α 2
Löst man (2) nach lg(R) auf und setzt es in (5) ein, so folgt:
lg(R) = ½∙lg(L) - 2∙lg(T) + const. ,
1 3
lp(P) + ───∙lg(L) - ─∙lg(L) + 3∙lg(T) = const. ,
2α 4
3α - 2
lg(P) - ──────∙lg(L) + 3∙lg(T) = const. .
4α
Nach lg(L) aufgelöst:
4α 12α
lg(L) = ──────∙lg(P) + ──────∙lg(T) + const. . (6)
3α - 2 3α - 2
Statt des Logarithmus der Leuchtkraft L wollen wir die bolome-
trische Helligkeit M einführen:
bol
M = -2.5∙lg(L) + const. , (7)
bol
so daß man schließlich erhält:
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ 10α 30α │
│ M = a - ──────∙lg(P) - ──────∙lg(T) , a = const. │ (8)
│ bol 3α - 2 3α - 2 │
└─────────────────────────────────────────────────────┘ .
Dies ist die sog. theoretische Perioden-Helligkeit-Farbenbezie-
hung, kurz auch PLC-Relation genannt.
Die Periode P (in Tagen) läßt sich gut beobachten. Dagegen werden
statt M und T nur die visuelle Helligkeit M und die Farbe B-V
bol v
beobachtet. Die Transformation von M und lg(T) in M und (B-V)o
bol v
stellt ein besonderes Problem dar. Es lassen sich jedoch in dem
für δ-Cepheiden zutreffenden (B-V)o-Bereich (0.17 ≤ (B-V)o ≤ 1.25)
die bolometrische Korrektion BC und lg(T) sehr gut durch Polynome
bis zur zweiten Ordnung in (B-V)o darstellen. Wir setzen
allgemein an:
2
BC = B0 + B1∙(B-V)o + B2∙(B-V)o , (9)
2
lg(T) = T0 + T1∙(B-V)o + T2∙(B-V)o . (10)
Eine Ausgleichung von fünf Tabellenwerten aus Landold-Börnstein
für die Leuchtkraftklasse I ergibt folgende Koeffizienten:
B0 = +0.024 ±0.020
B1 = -0.136 ±0.073 (11)
B2 = +0.416 ±0.052 ,
T0 = +3.934 ±0.010
T1 = -0.288 ±0.035 (12)
T2 = +0.044 ±0.025 ,
die Koeffizienten sind jeweils alle stark korreliert.
M läßt sich nun darstellen durch M und (B-V)o:
v bol
M = M + BC ,
v bol
2
M = M + B0 + B1∙(B-V)o + B2∙(B-V)o . (13)
v bol
Setzt man nun (10) in (8) und dann (8) in (13) ein, so erhält man:
10α B1∙(3α - 2) - T1∙30α
M = a˜͂ - ──────∙lg(P) + ────────────────────∙(B-V)o
v 3α - 2 3α - 2
(16)
B2∙(3α - 2) - T2∙30α 2
+ ────────────────────∙(B-V)o .
3α - 2
Auch wenn die Annahme der Leuchtkraftklasse I nicht für den ganzen
Cepheidenbereich zutrifft, so stellen die Gleichungen (9) und (10)
und damit auch (16) doch die Verhältnisse qualitativ richtig dar.
2
Nimmt man α=3 an, so ist der Koeffizient von (B-V)o :
B2∙7 - T2∙90
──────────── ,
7
und die obigen Werte für die Leuchtkraftklasse I eingesetzt
ergibt:
0.416∙7 - 0.044∙90
────────────────── = -0.150 ,
7
und mit α=4 erhält man:
B2∙10 - T2∙120
────────────── = -0.112 .
10
Ein wichtiger Aspekt ist der Einfluß der interstellaren
Extinktion. Ohne Extinktion, also mit
E(B-V) = 0, Av = R∙E(B-V), R = 3 (17)
gelte:
Mv° = a° + b°∙lg(P) + c°∙(B-V)o + d°∙(B-V)o² , (18)
dabei bedeute "°" immer ein Wert ohne Extinktionseinfluß.
Mit
1. Mv° = Mv - Av
2. (B-V)o = (B-V) - E(B-V) = (B-V) - Av/R
in (18) eingesetzt erhält man:
Mv = a° + Av - c°∙Av/R + d°∙(Av/R)² + b°∙lg(P)
+ (c° - d°∙2∙Av/R)∙(B-V) + d°∙(B-V)² , (19)
Mv = a' + b'∙lg(P) + c'∙(B-V) + d'∙(B-V)² mit
a' = a° + Av - c°∙Av/R = a° + R∙E(B-V) - c°∙E(B-V)
b' = b°
c' = c° - d°∙2∙Av/R = c° - d°∙2∙E(B-V)
d' = d° .