Bestimmung unbekannter Objekte auf Himmelsaufnahmen mit Hilfe
        ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
             zweier bekannter Objekte und bekannter Plattenmitte
             ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Es seien αt,δt (Rektaszension und Deklination des Tangential-
      punktes) sowie αi,δi, i=1,2, (Rektaszension und Deklination zweier
      bekannter Sterne) gegeben.  Außerdem seien auf der Platte xi,yi,
      i=1,2 die in einem orthonormalen Koordinatensystem, das die
      gleiche Orientierung wie α- und δ-Richtungen haben muß, gemessen.
      Dann können wir für alle weiteren Sterne zu α,δ (bzw.  x,y) das
      zugehörige x,y (bzw.  α,δ) berechnen.

      Zur Berechnung muß zunächst die Transformation zwischen den X,Y,
      also den Koordinaten der Tangentialebene der Einheitskugel
      parallel zur α- und δ-Richtung im Tangentialpunkt, und den
      gemessenen Werten x,y der Platte bestimmt werden.

      Da beide Koordinatensysteme orthonormal sind, kann die Tranfor-
      mation nur aus einer Translation (xo,yo) plus einer Drehung mit
      Maßstabsänderung (Θ,r; in x- und y-Richtung gleich groß) bestehen.
      Sie enthält also genau die vier zu bestimmenden Größen xo1, xo2,
      Θ, r.  Mit Matrizen (Vektoren mit Überstrich) folgt:

          _          _    _          _    _
          Xi = D ∙ ( xi + xo ) = D ∙ xi + Xo ,  i=1,2.               (1)

      Dabei ist D die Drehmatrix:

                ┌                 ┐
                │ cos(Θ)  -sin(Θ) │
          D = r∙│                 │                                  (2)
                │ sin(Θ)   cos(Θ) │
                └                 ┘ .

      Betrachten wir die Differenz der für die zwei bekannten Sterne
      nach (1) aufgestellten Gleichungen, wobei wir zur Abkürzung

           _   _    _
           U = X2 - X1    und

           _   _    _
           v = x2 - x1

      setzen:

                       ┌         ┐   ┌          ┐
          _       _    │ v1  -v2 │   │ r∙cos(Θ) │
          U = D ∙ v =  │         │ ∙ │          │                    (3)
                       │ v2   v1 │   │ r∙sin(Θ) │
                       └         ┘   └          ┘    .

      Es folgt daher aus (3):

          ┌          ┐              ┌         ┐   ┌    ┐
          │ r∙cos(Θ) │       1      │  v1  v2 │   │ U1 │
          │          │ = ───────── ∙│         │ ∙ │    │
          │ r∙sin(Θ) │    v1²+v2²   │ -v2  v1 │   │ U2 │
          └          ┘              └         ┘   └   ─┘
                                                                     (4)
                                    ┌               ┐
                             1      │ v1∙U1 + v2∙U2 │
                       = ───────── ∙│               │
                          v1²+v2²   │ v1∙U2 - v2∙U1 │
                                    └               ┘

      und

                U1²+U2²
          r² = ─────────     .                                       (5)
                v1²+v2²

      Damit ist die Drehmatrix D und ihre Inverse D˜͂ bekannt:

                 ┌                 ┐
               1 │  cos(Θ)  sin(Θ) │
          D˜͂ = ─∙│                 │     .                           (6)
               r │ -sin(Θ)  cos(Θ) │
                 └                 ┘
                _
      Die Größe Xo aus (1) ergibt sich dann zu:

          _    _      _                      _    _      _
          Xo = Xi - D∙xi , speziell für i=1: Xo = X1 - D∙x1 .        (7)

      Also haben wir schließlich für alle weiteren Sterne (i=3,...  )

          _       _  _     _        _        _  _     _
          Xi = D∙(xi-x1) + X1 bzw.  xi = D˜͂∙(Xi-X1) + x1   .         (8)

      Mit (8) ist für beide Richtungen damit das Problem gelöst.