Koordinatenbestimmung von Objekten mit bekannten Anhaltsternen
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und bekannter Plattenmitte
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Wir betrachten eine Einheitskugel (=Himmelsphäre) mit den
Winkelkoordinaten α (=Rektaszension) und δ (=Deklination), so daß
ein Punkt (=Stern) der Kugeloberfläche durch Einheitsvektoren
folgender Art beschrieben wird (kartesische Koordinaten mit
Kugelmitte als Ursprung):
┌ ┐
│ cos(α)∙cos(δ) │
E = E(α,δ) = │ sin(α)∙cos(δ) │
│ sin(δ) │
└ ┘ .
Wir beschreiben ebenso in Vektorschreibweise (Großbuchstaben:
Vektor oder Matrix) mit Hilfe der Kugelkoordinaten α,δ die
folgenden Größen (dabei haben wir eine Tangentialebene an die
Kugel gelegt):
┐
Plattenmitte bzw. │ ┌ ┐
Tangentialpunkt │ │ cos(αo)∙cos(δo) │
(=Berührungspunkt ├ : M = M(αo,δo) = │ sin(αo)∙cos(δo) │
der Tangential- │ │ sin(δo) │
ebene an Kugel) │ └ ┘ ,
┘
┌ ┐
│ cos(α)∙cos(δ) │
Stern auf Kugel : S = S(α,δ) = │ sin(α)∙cos(δ) │
│ sin(δ) │
└ ┘ .
Einheitsvektoren auf der Tangentialebene vom Mittelpunkt der Ebene
bis zu einem Punkt (X,Y) der Ebene in α- und δ-Richtung:
┌ ┐
Einheitsvektor in │ -sin(αo) │
α-Richtung : Ex = Ex(αo,δo) = │ cos(αo) │
│ 0 │
└ ┘ ,
┌ ┐
Einheitsvektor in │ -cos(αo)∙sin(δo) │
δ-Richtung : Ey = Ey(αo,δo) = │ -sin(αo)∙sin(δo) │
│ cos(δo) │
└ ┘ ,
dabei gilt, daß Ex auf Ey, Ex auf M und Ey auf M senkrecht stehen.
Ex und Ey definieren zugleich das
Tangentialebenenkoordinatensystem.
Verlängern wir den Sternvektor S bis er auf die Tangentialebene
trifft, so erhalten wir den Vektor St. Der Winkel d zwischen M
und St ist identisch gleich dem Winkel zwischen M und S. Folgende
Beziehungen haben wir daher:
cos(d) = (M∙S) , da │M│ = │S│ = 1 , und
│M│ S S
cos(d) = ──── bzw. St = ────── = ───── .
│St│ cos(d) (M∙S)
cos(d) ist also durch M und S bekannt, damit also auch St.
Die Koordinaten xs,ys des Sterns in der Tangentialebene (=Platte)
erfüllen die Gleichung:
1
xs∙Ex + ys∙Ey = St - M = ─────∙S - M .
(M∙S)
Schreiben wir die linke Seite mit der Matrix F = [Ex,Ey] und dem
Vektor T der Tangentialebenenkoordinaten:
┌ ┐
│ xs │
T = │ │
│ ys │
└ ┘ ,
so können wir folgende Matrizengleichung aufschreiben:
F ∙ T = (S/(M∙S) - M) .
Die Lösung dieser Gleichung erhält man, wenn von links mit der
Transponierten F' zu F multipliziert wird. Da F'∙F nämlich eine
2x2-Einheitsmatrix ist (Ex senkrecht Ey), erhält man also:
T = F'∙(S/(M∙S) - M) = F'∙S/(M∙S) - F'∙M .
Da ferner
┌ ┐ ┌ ┐
│ (Ex∙M) │ │ 0 │
F'∙M = │ │ = │ │ (wegen Ex,Ey senkrecht M) ,
│ (Ey∙M) │ │ 0 │
└ ┘ └ ┘
folgt schließlich:
1
T = ─────∙F'∙S mit
(M∙S)
┌ ┐
│ cos(δ)∙sin(α-αo) │
F'∙S = │ │
│ -cos(δ)∙cos(α-αo)∙sin(δo) + sin(δ)∙cos(δo) │
└ ┘
und
(M∙S) = cos(δ)∙cos(δo)∙cos(α-αo) + sin(δ)∙sin(δo) ,
T ist dabei in Einheiten der Einheitskugel gegeben.
Zur Bestimmung von Koordinaten α,δ unbekannter Objekte auf der
Platte wird nun folgendermaßen vorgegangen:
1) Messung der Plattenkoordinaten x,y aller interes-
sierenden Objekte auf der Platte, also sowohl der
mindestens drei Anhaltsterne (mit gut bekannten
α- und δ-Koordinaten) als auch der Objekte, für die
α,δ zu bestimmen sind.
2) Zu bekannter Plattenmitte αo,δo (=Tangentialpunkt)
werden nach obigen Gleichungen die Tangential-
ebenenkoordinaten xs,ys der Anhaltsterne berechnet.
3) Da bei der Vermessung auf der Platte die Meßwerte
x,y sich nicht auf das Ex,Ey-System der Tangen-
tialebene beziehen, wird eine lineare Trans-
formation x,y -> x˜͂,y˜͂ durchgeführt, mit der auch
Verzerrungen und Verdrehungen sowie eine konstante
Verschiebung berücksichtigt werden. Haben wir
ka ≥ 3 Anhaltsterne, so sehen die Transformations-
gleichungen folgendermaßen aus:
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ x˜͂1 │ │ 1 x1 y1 0 0 0 │ │ a1 │ │ v1 │
│ y˜͂1 │ │ 0 0 0 1 x1 y1 │ │ a2 │ │ . │
│ . │ │ . . . . . . │ │ a3 │ │ . │
│ . │ = │ . . . . . . │ ∙ │ a4 │ + │ . │
│ . │ │ . . . . . . │ │ a5 │ │ . │
│ x˜͂ka│ │ 1 xka yka 0 0 0 │ │ a6 │ │ . │
│ y˜͂ka│ │ 0 0 0 1 xka yka │ └ ┘ │ v2ka │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
4) Das Gleichungssystem läßt sich mit einer Aus-
gleichsrechnung nach den in diesem Fall sechs
sog. Plattenkonstanten a1, .., a6 auflösen.
Nun können über die bekannten a1, .., a6 für
weitere Objekte, für die ja die x,y gemessen
wurden, die Tangentialebenenkoordinaten xs,ys
bestimmt werden.
5) Da xs∙Ex + ys∙Ey = St - M , ist St = M + xs∙Ex + ys∙Ey,
und damit schließlich:
┌ ┐ ┌ ┐
St │ sx │ │ cos(α)∙cos(δ) │
S = ──── = │ sy │ = │ sin(α)∙cos(δ) │
│St│ │ sz │ │ sin(δ) │
└ ┘ └ ┘ ,
so daß
α = ATAN2(sy,sx)
δ = ASIN (sz) .