Totaler Photonenfluß eines Sternes
                      ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Zunächst wird der Photonenfluß der Sonne über das Plancksche
      Strahlungsgesetz mit Kenntnis von Radius und Effektivtemperatur
      der Sonne berechnet.  Über die Entfernung der Sonne kann dann der
      Photonenfluß am Ort der Erde bestimmt werden.  Außerdem kann dann
      mittels der scheinbaren bolometrischen Helligkeit der Sonne auch
      eine Formel für den Photonenfluß in Abhängigkeit von der
      scheinbaren bolometrischen Helligkeit angegeben werden.

      Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet:

                      3
                 2∙h∙τ        1         ┌     dE      ┐
          I(τ) = ──────∙──────────────  │─────────────│  .
                    2    h∙τ/(k∙T)      └ dA∙dt∙dΩ∙dτ ┘
                   c    e          - 1

      Die Energie eines Photons der Frequenz τ ist Ep = h∙τ, daher ist
      die Zahl dn der Photonen in der Energie dE gleich:

                 dE
          dn = ─────   .
                h∙τ

      Ersetzen wir also in I(τ) dE durch dn, indem wir I(τ) durch h∙τ
      dividieren:

                    2
          .      2∙τ        1         ┌     dn      ┐
          n(τ) = ────∙──────────────  │─────────────│  .
                   2   h∙τ/(k∙T)      └ dA∙dt∙dΩ∙dτ ┘
                  c   e          - 1

      Durch Integration über den Halbraum erhalten wir unter Berück-
      sichtigung, daß in Winkelrichtung Θ (Θ = Winkel zwischen
      Flächennormale und Strahlungsrichtung) nur der Flächenanteil
      cos(Θ)∙dA wirksam ist, mit dΩ = sinΘ∙dΘ∙dΦ:

                   2π π/2
          .        ⌠   ⌠ .                            .
          N(τ) =   │   │ n(τ)∙cos(Θ)∙sin(Θ)∙dΘ∙dΦ = π∙n(τ) ,
                   ⌡   ⌡
                  Φ=0 Θ=0

          .        .     ┌    dn    ┐
          N(τ) = π∙n(τ)  │──────────│  .
                         └ dA∙dt∙dτ ┘

      Schließlich führt die Integration über alle Frequenzen zur
      Gesamtzahl aller pro Zeit und pro Flächenelement in den Halbraum
      ausgestrahlten Photonen:

                          ∞
              ∞           ⌠      2
          .   ⌠ .         │ 2∙π∙τ        dτ
          N = │ N(τ)∙dτ = │ ──────∙───────────────  .
              ⌡           │    2     h∙τ/(k∙T)
             τ=0          ⌡   c     e          - 1
                         τ=0

      Mit der Substitution τ = k∙T∙x/h bzw.  dτ = k∙T/h∙dx folgt:

                  ┌   ┐3
           2      │k∙T│   2
          τ ∙dτ = │───│ ∙x ∙dx
                  │ h │
                  └   ┘

      und daher die vereinfachte Formel:

                          ∞
                   3  3   ⌠    2
          .   2∙π∙k ∙T    │   x ∙dx    ┌   dn  ┐
          N = ───────── ∙ │ ────────   │───────│   .
                 2  3     │   x        └ dA∙dt ┘
                c ∙h      ⌡  e  - 1
                         x=0

      Das Integral ist nur numerisch bekannt:

           ∞
           ⌠    2
           │   x ∙dx
           │ ────────  = 2!∙Zeta(2+1) = 2.4041138063  .
           │   x
           ⌡  e  - 1
          x=0

      Bestimmen wir auch noch die Gesamtleistung F, die durch ein
      Flächenelement in den Halbraum gestrahlt wird.  Wir führen die
      Rechnung analog wie zuvor durch, teilen jedoch nicht durch h∙τ.
      Wir bekommen:

                   2π π/2
                   ⌠   ⌠
          F(τ) =   │   │ I(τ)∙cos(Θ)∙sin(Θ)∙dΘ∙dΦ = π∙I(τ) ,
                   ⌡   ⌡
                  Φ=0 Θ=0

                         ┌    dE    ┐
          F(τ) = π∙I(τ)  │──────────│   .
                         └ dA∙dt∙dτ ┘

      Die Integration über alle Frequenzen ergibt:

                           ∞
               ∞           ⌠        3
               ⌠           │ 2∙π∙h∙τ       dτ       ┌  dE   ┐
          F =  │ F(τ)∙dτ = │ ────────∙────────────  │───────│  ,
               ⌡           │     2      hτ/kT       └ dA∙dt ┘
              τ=0          ⌡    c      e      - 1
                          τ=0

                           ∞
                    4  4   ⌠    3
               2∙π∙k ∙T    │   x ∙dx
          F = ───────────∙ │ ────────    .
                  2  3     │   x
                 c ∙h      ⌡  e  - 1
                          x=0

      Der Wert des Integrals ist bekannt:

           ∞
           ⌠    3                          4     4
           │   x ∙dx                    6∙π     π
           │ ────────  = 3!∙Zeta(3+1) = ──── = ─── = 6.493939406 ,
           │   x                         90     15
           ⌡  e  - 1
          x=0

      und damit:

                  5  4  4
               2∙π ∙k ∙T
          F = ───────────   .
                   2  3
               15∙c ∙h
                       .
      Das Verhältnis F/N ist nun:

            .        3!∙Zeta(4)           Zeta(4)
          F/N = k∙T∙──────────── = 3∙k∙T∙─────────   ,
                     2!∙Zeta(3)           Zeta(3)

                .          Zeta(4)
          F  =  N ∙ 3∙k∙T∙─────────  ,
                           Zeta(3)

          .       F     Zeta(3)
          N  = ───────∙─────────     ( proportional zu F/T )  .
                3∙k∙T   Zeta(4)

      Mit:

                          -23
          k = 1.3806513∙10    J/K

                           8
          c = 2.99792458∙10  m/s

                          -34
          h = 6.6260755∙10    J∙s

          π = 3.14159265358979

                          8               ┐
          Rs   =  6.960∙10  m             │
                                          │
          Ts   =  5770 K                  │
                                          ├─ Sonnendaten
                                 11       │
          Ds   = 1AE = 1.49598∙10   m     │
                                          │
          ms   = -26.78 mag. (bol.)       ┘

      können wir nun den Photonen- und Energiefluß am Ort der Erde
      bestimmen, zunächst den Energiefluß Ss der Sonne am Ort der Erde.
      Mit dem Fluß Fs der Sonnenoberfläche ist offenbar:

                                ┌                  ┐
                                │          5  4  4 │
                         2      │       2∙π ∙k ∙Ts │
          Ss = Fs∙(Rs/Ds)       │ Fs = ─────────── │ .
                                │           2  3   │
                                │       15∙c ∙h    │
                                └                  ┘

                                          .
      Dann ist der Photonenfluß der Sonne Ns am Ort der Erde:

                                               2
          .        Ss     Zeta(3)    Fs∙(Rs/Ds)   Zeta(3)
          Ns =  ────────∙───────── = ───────────∙─────────  .
                 3∙k∙Ts   Zeta(4)       3∙k∙Ts    Zeta(4)

      Betrachten wir nun die scheinbare bolometrische Helligkeit eines
      Sterns (m) und die der Sonne (ms), so gilt:

                                                -0.4∙(m - ms)
          m - ms = -2.5∙log(S/Ss) bzw. S/Ss = 10                .

                                               .
      Da nun nach einem obigen Ergebnis gilt:  N proportional S/T
      - sowohl für die Sonne als auch für Sterne - am Ort der Erde, so
      ist:

          . .     S∙Ts     Ts   -0.4∙(m - ms)
          N/Ns = ────── = ───∙10               ,
                  Ss∙T     T

          ┌───────────────────────────────┐
          │  .             -0.4∙(m - ms)  │
          │  N = Ns∙Ts/T∙10               │   .
          └───────────────────────────────┘

      Nach den oben angegebenen Werten und der Formel für Ns erhält man:

                   5  4  4          2
          .     2∙π ∙k ∙Ts   (Rs/Ds)     Zeta(3)
          Ns = ─────────── ∙ ──────── ∙ ─────────   ,
                    2  3      3∙k∙Ts     Zeta(4)
                15∙c ∙h

                   5  3  3        2
          .     2∙π ∙k ∙Ts∙(Rs/Ds)   Zeta(3)               21
          Ns = ────────────────────∙───────── = 6.322236∙10   1/(s∙m²) .
                         2  3        Zeta(4)
                     45∙c ∙h

      Damit erhalten wir für den Photonenfluß eines Sternes der
      bolometrischen scheinbaren Helligkeit m und dem Verhältnis der
      Sonneneffektivtemperatur zu der des Sterns (Ts/T) außerhalb der
      Erdatmosphäre am Ort der Erde:

          ┌────────────────────────────────────────────────────────┐
          │ .              21          -0.4∙(m + 26.78)            │
          │ N = 6.322236∙10  ∙(Ts/T)∙10                 [1/(s∙m²)] │
          └────────────────────────────────────────────────────────┘  .

      Folgende Tabelle für 1m² und für eine Kreisfläche mit 20cm
      Durchmesser mögen den Photonenfluß veranschaulichen (Ts/T=1):

          mag.(bol.)   dN/(s∙m²)  dN/(s∙0.03m²)

                               11            9
              0.0     1.2271∙10     3.8550∙10

                               10            8
              2.5     1.2271∙10     3.8550∙10

                               9             7
              5.0     1.2271∙10     3.8550∙10

                               8             6
              7.5     1.2271∙10     3.8550∙10

                               7             5
             10.0     1.2271∙10     3.8550∙10

                               6             4
             12.5     1.2271∙10     3.8550∙10

                               5             3
             15.0     1.2271∙10     3.8550∙10

                               4             2
             17.5     1.2271∙10     3.8550∙10

                               3             1
             20.0     1.2271∙10     3.8550∙10   .