Totaler Photonenfluß eines Sternes
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Zunächst wird der Photonenfluß der Sonne über das Plancksche
Strahlungsgesetz mit Kenntnis von Radius und Effektivtemperatur
der Sonne berechnet. Über die Entfernung der Sonne kann dann der
Photonenfluß am Ort der Erde bestimmt werden. Außerdem kann dann
mittels der scheinbaren bolometrischen Helligkeit der Sonne auch
eine Formel für den Photonenfluß in Abhängigkeit von der
scheinbaren bolometrischen Helligkeit angegeben werden.
Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet:
3
2∙h∙τ 1 ┌ dE ┐
I(τ) = ──────∙────────────── │─────────────│ .
2 h∙τ/(k∙T) └ dA∙dt∙dΩ∙dτ ┘
c e - 1
Die Energie eines Photons der Frequenz τ ist Ep = h∙τ, daher ist
die Zahl dn der Photonen in der Energie dE gleich:
dE
dn = ───── .
h∙τ
Ersetzen wir also in I(τ) dE durch dn, indem wir I(τ) durch h∙τ
dividieren:
2
. 2∙τ 1 ┌ dn ┐
n(τ) = ────∙────────────── │─────────────│ .
2 h∙τ/(k∙T) └ dA∙dt∙dΩ∙dτ ┘
c e - 1
Durch Integration über den Halbraum erhalten wir unter Berück-
sichtigung, daß in Winkelrichtung Θ (Θ = Winkel zwischen
Flächennormale und Strahlungsrichtung) nur der Flächenanteil
cos(Θ)∙dA wirksam ist, mit dΩ = sinΘ∙dΘ∙dΦ:
2π π/2
. ⌠ ⌠ . .
N(τ) = │ │ n(τ)∙cos(Θ)∙sin(Θ)∙dΘ∙dΦ = π∙n(τ) ,
⌡ ⌡
Φ=0 Θ=0
. . ┌ dn ┐
N(τ) = π∙n(τ) │──────────│ .
└ dA∙dt∙dτ ┘
Schließlich führt die Integration über alle Frequenzen zur
Gesamtzahl aller pro Zeit und pro Flächenelement in den Halbraum
ausgestrahlten Photonen:
∞
∞ ⌠ 2
. ⌠ . │ 2∙π∙τ dτ
N = │ N(τ)∙dτ = │ ──────∙─────────────── .
⌡ │ 2 h∙τ/(k∙T)
τ=0 ⌡ c e - 1
τ=0
Mit der Substitution τ = k∙T∙x/h bzw. dτ = k∙T/h∙dx folgt:
┌ ┐3
2 │k∙T│ 2
τ ∙dτ = │───│ ∙x ∙dx
│ h │
└ ┘
und daher die vereinfachte Formel:
∞
3 3 ⌠ 2
. 2∙π∙k ∙T │ x ∙dx ┌ dn ┐
N = ───────── ∙ │ ──────── │───────│ .
2 3 │ x └ dA∙dt ┘
c ∙h ⌡ e - 1
x=0
Das Integral ist nur numerisch bekannt:
∞
⌠ 2
│ x ∙dx
│ ──────── = 2!∙Zeta(2+1) = 2.4041138063 .
│ x
⌡ e - 1
x=0
Bestimmen wir auch noch die Gesamtleistung F, die durch ein
Flächenelement in den Halbraum gestrahlt wird. Wir führen die
Rechnung analog wie zuvor durch, teilen jedoch nicht durch h∙τ.
Wir bekommen:
2π π/2
⌠ ⌠
F(τ) = │ │ I(τ)∙cos(Θ)∙sin(Θ)∙dΘ∙dΦ = π∙I(τ) ,
⌡ ⌡
Φ=0 Θ=0
┌ dE ┐
F(τ) = π∙I(τ) │──────────│ .
└ dA∙dt∙dτ ┘
Die Integration über alle Frequenzen ergibt:
∞
∞ ⌠ 3
⌠ │ 2∙π∙h∙τ dτ ┌ dE ┐
F = │ F(τ)∙dτ = │ ────────∙──────────── │───────│ ,
⌡ │ 2 hτ/kT └ dA∙dt ┘
τ=0 ⌡ c e - 1
τ=0
∞
4 4 ⌠ 3
2∙π∙k ∙T │ x ∙dx
F = ───────────∙ │ ──────── .
2 3 │ x
c ∙h ⌡ e - 1
x=0
Der Wert des Integrals ist bekannt:
∞
⌠ 3 4 4
│ x ∙dx 6∙π π
│ ──────── = 3!∙Zeta(3+1) = ──── = ─── = 6.493939406 ,
│ x 90 15
⌡ e - 1
x=0
und damit:
5 4 4
2∙π ∙k ∙T
F = ─────────── .
2 3
15∙c ∙h
.
Das Verhältnis F/N ist nun:
. 3!∙Zeta(4) Zeta(4)
F/N = k∙T∙──────────── = 3∙k∙T∙───────── ,
2!∙Zeta(3) Zeta(3)
. Zeta(4)
F = N ∙ 3∙k∙T∙───────── ,
Zeta(3)
. F Zeta(3)
N = ───────∙───────── ( proportional zu F/T ) .
3∙k∙T Zeta(4)
Mit:
-23
k = 1.3806513∙10 J/K
8
c = 2.99792458∙10 m/s
-34
h = 6.6260755∙10 J∙s
π = 3.14159265358979
8 ┐
Rs = 6.960∙10 m │
│
Ts = 5770 K │
├─ Sonnendaten
11 │
Ds = 1AE = 1.49598∙10 m │
│
ms = -26.78 mag. (bol.) ┘
können wir nun den Photonen- und Energiefluß am Ort der Erde
bestimmen, zunächst den Energiefluß Ss der Sonne am Ort der Erde.
Mit dem Fluß Fs der Sonnenoberfläche ist offenbar:
┌ ┐
│ 5 4 4 │
2 │ 2∙π ∙k ∙Ts │
Ss = Fs∙(Rs/Ds) │ Fs = ─────────── │ .
│ 2 3 │
│ 15∙c ∙h │
└ ┘
.
Dann ist der Photonenfluß der Sonne Ns am Ort der Erde:
2
. Ss Zeta(3) Fs∙(Rs/Ds) Zeta(3)
Ns = ────────∙───────── = ───────────∙───────── .
3∙k∙Ts Zeta(4) 3∙k∙Ts Zeta(4)
Betrachten wir nun die scheinbare bolometrische Helligkeit eines
Sterns (m) und die der Sonne (ms), so gilt:
-0.4∙(m - ms)
m - ms = -2.5∙log(S/Ss) bzw. S/Ss = 10 .
.
Da nun nach einem obigen Ergebnis gilt: N proportional S/T
- sowohl für die Sonne als auch für Sterne - am Ort der Erde, so
ist:
. . S∙Ts Ts -0.4∙(m - ms)
N/Ns = ────── = ───∙10 ,
Ss∙T T
┌───────────────────────────────┐
│ . -0.4∙(m - ms) │
│ N = Ns∙Ts/T∙10 │ .
└───────────────────────────────┘
Nach den oben angegebenen Werten und der Formel für Ns erhält man:
5 4 4 2
. 2∙π ∙k ∙Ts (Rs/Ds) Zeta(3)
Ns = ─────────── ∙ ──────── ∙ ───────── ,
2 3 3∙k∙Ts Zeta(4)
15∙c ∙h
5 3 3 2
. 2∙π ∙k ∙Ts∙(Rs/Ds) Zeta(3) 21
Ns = ────────────────────∙───────── = 6.322236∙10 1/(s∙m²) .
2 3 Zeta(4)
45∙c ∙h
Damit erhalten wir für den Photonenfluß eines Sternes der
bolometrischen scheinbaren Helligkeit m und dem Verhältnis der
Sonneneffektivtemperatur zu der des Sterns (Ts/T) außerhalb der
Erdatmosphäre am Ort der Erde:
┌────────────────────────────────────────────────────────┐
│ . 21 -0.4∙(m + 26.78) │
│ N = 6.322236∙10 ∙(Ts/T)∙10 [1/(s∙m²)] │
└────────────────────────────────────────────────────────┘ .
Folgende Tabelle für 1m² und für eine Kreisfläche mit 20cm
Durchmesser mögen den Photonenfluß veranschaulichen (Ts/T=1):
mag.(bol.) dN/(s∙m²) dN/(s∙0.03m²)
11 9
0.0 1.2271∙10 3.8550∙10
10 8
2.5 1.2271∙10 3.8550∙10
9 7
5.0 1.2271∙10 3.8550∙10
8 6
7.5 1.2271∙10 3.8550∙10
7 5
10.0 1.2271∙10 3.8550∙10
6 4
12.5 1.2271∙10 3.8550∙10
5 3
15.0 1.2271∙10 3.8550∙10
4 2
17.5 1.2271∙10 3.8550∙10
3 1
20.0 1.2271∙10 3.8550∙10 .