Die Länge der hyperbolischen Spirale
                     ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      In Polarkoordinaten R,Φ lautet die Gleichung der hyperbolischen
      Spirale:

                  a
          R(Φ) = ───   mit  a∙Φ > 0  ,                               (1)
                  Φ

      für die zwei möglichen Äste, der eine wird für a > 0 und Φ > 0
      durchlaufen, der zweite für a < 0 und Φ < 0.

      Betrachten wir zuvor eine asymptotische Eigenschaft der Spirale in
      kartesischen Koordinaten x,y:

          ┌      ┐        ┌        ┐
          │ x(Φ) │        │ cos(Φ) │
          │      │ = R(Φ)∙│        │ ,                               (2)
          │ y(Φ) │        │ sin(Φ) │
          └      ┘        └        ┘

      so folgt für Φ gegen ±0 gehend:

                 ┌      ┐              ┌        ┐    ┌   ┐
                 │ x(Φ) │           a  │ cos(Φ) │    │ ∞ │
           lim   │      │ =  lim   ───∙│        │  = │   │ ,         (3)
          Φ-->±0 │ y(Φ) │   Φ-->±0  Φ  │ sin(Φ) │    │ a │
                 └      ┘              └        ┘    └   ┘

      die Gerade y = a ist also eine Asymptote der Spirale für Φ --> 0.
      (Man beachte, daß für negative Φ nur negative a zugelassen sind.)

      Die Länge dieser Spirale findet man in vielen Formelsammlungen
      oder in gängigen mathematischen Taschenbüchern.  Die Herleitung
      der Länge sei hier beschrieben.

      Allgemein ist die Länge einer Kurve R = R(Φ) im Winkelbereich von
      Φ1 bis Φ2 gegeben durch:

              Φ2
              ⌠ ┌                  ┐½
          L = │ │ R²(Φ) + (dR/dΦ)² │ ∙dΦ   .                         (4)
              ⌡ └                  ┘
              Φ1

      Die Ableitung von (1) lautet:

          dR/dΦ = -a/Φ²  .                                           (5)

      Setzen wir die Funktion der hyperbolischen Spirale (1) und ihre
      Ableitung (5) in (4) zur Bestimmung der Länge ein, so folgt:

              Φ2
              ⌠ ┌ a²      a²  ┐½
          L = │ │──── + ───── │∙dΦ
              ⌡ └ Φ²     Φ^4  ┘
              Φ1

                  Φ2         ½
                  ⌠  (1 + Φ²)
            = |a|∙│ ────────── ∙dΦ
                  ⌡      Φ²
                  Φ1

                  ┌           ½           ┐Φ2
                  │  -(1 + Φ²)            │
            = |a|∙│  ────────── + arsh(Φ) │    ,
                  │       Φ               │
                  └                       ┘Φ1

                                                                     (6)
      ┌────────────────────────────────────────────────────────────────┐
      │               ┌                     ½                       ½ ┐│
      │               │            (1 + Φ2²)               (1 + Φ1²)  ││
      │L(Φ1,Φ2) = |a|∙│ arsh(Φ2) - ────────── - arsh(Φ1) + ────────── ││
      │               │                Φ2                      Φ1     ││
      │               └                                               ┘│
      └────────────────────────────────────────────────────────────────┘
                                                                       .

      Die Länge ist für alle gegebenen Φ1,Φ2 endlich, aber sowohl für
      Φ1 --> ±0 als auch für Φ2 --> ±∞ geht jeweils die Länge der
      hyperbolischen Spirale gegen unendlich.