Die Messung der atmosphärischen Extinktion
                  ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Zunächst die Erläuterung der zu messenden Größe.  Wir setzen
      voraus, daß die Messung mittels der Sonne - als konstant
      anzusehende Strahlungsquelle - in einem relativ schmalen
      Wellenlängenbereich bei der Schwerpunktwellenlänge L stattfindet.

      Sei z die Zenitdistanz der Sonne, und sei So der außerhalb der
      Erdatmosphäre eintreffende Strahlungsstrom der Sonne im zu
      betrachtenden Spektralbereich.  Dann gilt für die Änderung dS des
      Strahlungsstromes S mit zunehmender Höhe über eine dünne
      Luftschicht der Dicke dh in der Höhe h (über Meeresspiegel):

                S∙k(h)
          dS = ───────∙dh  = M∙S∙k(h)∙dh  ,
                cos(z)

      mit der Definition der geometrische Luftmasse M:

          ┌─────────────┐
          │        1    │
          │ M := ────── │   geometrische Luftmasse
          │      cos(z) │
          └─────────────┘

      folgt weiter:

          dS
          ── = M∙k(h)∙dh   ,
           S

          dln(S) = M∙k(h)∙dh .

      Man integriert von h = 0 (Meereshöhe) bis h = ∞ (über Atmosphäre),
      und mit S := S(Meereshöhe) und So := S(über Atmosphäre)
      erhalten wir:

                             h=∞
                              ⌠
          ln(So) - ln(S) = M∙ │ k(h)∙dh = M∙K  ,
                              ⌡
                             h=0

          ┌─────────────────────────┐
          │ ln(S/So) = -M∙K    oder │
          │                         │                                (1)
          │ ln(S) = ln(So) -K∙M     │
          └─────────────────────────┘

      mit der Definitionen:

          ┌───────────────┐
          │    h=∞        │
          │     ⌠         │
          │ K = │ k(h)∙dh │      für die Extinktion der Atmosphäre.
          │     ⌡         │
          │    h=0        │
          └───────────────┘

      S und So werden in willkürlichen aber denselben Einheiten benutzt.

      Die Luftmasse variiert je nach Zenitdistanz zwischen 1 (Sonne im
      Zenit) und Unendlich, wenn wir die Erdkrümmung vernachlässigen
      könnten.  Mißt man bei klarem Himmel für verschiedene (aber wegen
      der Erdkrümmung nicht zu große) Zenitdistanzen z und damit
      Luftmassen M die Größe ln(S), so kann man den Wert ln(So) für
      M = 0 ermitteln.  Damit ist aber auch die Extinktion K für M = 1
      bekannt!

      Wie erfolgt nun praktisch die Bestimmung der atmosphärischen
      Extinktion um eine Schwerpunktwellenlänge L?  Wir setzen für die
      folgenden Ausführungen voraus, daß wir mit einem linear
      anzeigenden Fotometer mit einem relativ eng begrenzten
      Wellenlängenbereich (≈10 nm) arbeiten.  Ferner setzen wir voraus,
      daß - wie schon zuvor erwähnt - die Leuchtkraft der Sonne konstant
      ist.

      Mißt man zu verschiedenen Zenitdistanzen zi - also zu
      verschiedenen geometrischen Luftmassen Mi - die Strahlungsströme
      Si und trägt den Logarithmus der Strahlungsströme gegen die
      Luftmassen auf, so erhalten wir etwa folgende Tabelle:

          Meßwerte │ Luftmassen
          ─────────┼───────────
           ln(S1)  │     M1
             ∙     │     ∙
             ∙     │     ∙
             ∙     │     ∙
           ln(Sn)  │     Mn

      Die Werte setzen wir jeweils in die Gleichung (1) ein und fügen
      noch die Abweichungen Vi hinzu, da ja die Gleichung für ein
      Lösungspaar {ln(S0),K} nicht für alle Meßpaare {ln(Si),Mi}
      erfüllbar ist, so daß wir folgendes Gleichungssystem erhalten:

          ln(S1) = ln(So) - K∙M1 + V1
             ∙       ∙       ∙     ∙
             ∙       ∙       ∙     ∙
             ∙       ∙       ∙     ∙
          ln(Sn) = ln(So) - K∙Mn + Vn   ,

      die Vi werden auch 'scheinbare Fehler' genannt.  Dieses lineare
      Gleichungssystem enthält die zwei unbekannten Größen, nämlich:

          A1 := ln(So)  ,
          A2 := K       ,

      die sich nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmen
      lassen.  Damit ist das Prinzip der Bestimmung der atmosphärischen
      Extinktion beschrieben.

      In der Praxis würde die Ermittlung der Intensität So (außerhalb
      der Atmosphäre) und der Extinktion K wie folgt ablaufen.  An einem
      klaren Tag werden von morgens bis mittags oder mittags bis abends
      oder auch von morgens bis abends die Intensitäten Si als Funktion
      der Zenitdistanzen zi, der Temperaturen Ti und der Luftdrücke Pi
      gemessen.  Aus den zi berechnet man die geometrischen Luftmassen
      Mi (Mi = 1/cos(zi) für nicht zu große zi).  Wenn wir (zunächst)
      Luftdruck P und Temperatur T unberücksichtigt lassen, dann ergibt
      eine graphische Darstellung der Messungen etwa folgendes Bild,
      wobei die Abszisse den natürlichen Logarithmus der Meßwerte in
      willkürlichen Einheiten darstellt:

                         0         1         2         3
                    ┌────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┐
                    ├                                       ┤
                  0 ├ ─ ─*─ ─ ─ ─ ─┼─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┤ 0
                    ├                                       ┤
      ln(S)-ln(So)  ├              │                        ┤
        = ln(S/So)  ├                   x                   ┤
                    ├              │         x              ┤
                 -½ ├                             x         ┤ -½
                    ├              │                   x    ┤
                    ├                                       ┤
                    ├              │                        ┤
                    ├                                       ┤
                 -1 ├              │                        ┤ -1
                    ├                                       ┤
                    └────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┘
                         0         1   M(z)  2         3

                                x = Meßpunkte

      In der Praxis sieht es dann etwa komplizierter aus, wenn man
      nämlich noch den Einfluß des Luftdrucks und die eventuelle
      Temperaturabhängigkeit des Meßgerätes (Fotometers) berücksichtigen
      muß bzw. will, aber dazu haben wir ja auch P und T registriert.

      Entsprechend (1) können wir dann mit Berücksichtigung
      des Luftdrucks Pi schreiben (Po := Normaldruck der Atmosphäre am
      Beobachtungsort):

        ┌────────────────────────────────┐
        │ ln(Si) = ln(So) -Ko∙Mi∙(Pi/Po) │   ,                       (2)
        └────────────────────────────────┘

      dabei sei mit Ko die Extinktion gemeint, die sich auf den
      atmosphärischen Druck Po am Ort der Beobachtung bezieht.  Übrigens
      spielt die Temperatur in dieser Formel keine Rolle, da die wahre
      Luftmasse (im wesentlichen) allein durch den Druck bestimmt wird.

                                    * * *

      Die Temperatur spielt dann eine Rolle, wenn die Eigenschaften des
      Meßgerätes von der Temperatur abhängen, was insbesondere zutrifft,
      wenn ein Halbleiter als optischer Empfänger benutzt wird, etwa
      eine Fotodiode.  Das Gerät messe den Strahlungsstrom Si und zeige
      den Meßwert si an.  Nehmen wir an, daß das Meßgerät exakt linear
      arbeitet, jedoch seien sowohl der eventuell vorhandene Bias
      a := ao+a1∙⌂Ti als auch der Konvertierungsfaktor b := bo+b1∙⌂Ti
      (b := ⌂si/⌂Si) temperaturabhängig.  Bei einem Strahlungsstrom Si
      zeigt dann das Meßgerät den Meßwert si an:

          si = ao + a1∙⌂Ti + (bo + b1∙⌂Ti)∙Si  ,                     (3)

      mit  ⌂Ti = Ti - To, To sei die Normaltemperatur als
      Bezugstemperatur.  Diese Korrekturen sind klein, so daß wir stets
      annehmen dürfen:

          |ao+a1∙⌂Ti|             |b1∙⌂Ti|
          ───────────  « 1  und   ──────── « 1  .                    (4)
            |bo∙Si|                 |bo|

      Wir wollen nun abschätzen, inwieweit die Bestimmung von Ko durch
      die Koeffizienten ao, a1 und b1 beeinflußt wird.  Zur Auswertung
      bilden wir den natürlichen Logarithmus von si und betrachten
      diesen als auszugleichenden Meßwert.  Es ist:

                     ┌                              ┐
          ln(si) = ln│ao + a1∙⌂Ti + (bo + b1∙⌂Ti)∙Si│                (5)
                     └                              ┘

                     ┌                                             ┐
                 = ln│bo∙Si∙[1 + b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si)]│
                     └                                             ┘

                 = ln(bo∙Si)

                   + ln[1 + b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si)]

                 = ln(bo∙So) - Ko∙Mi∙(Pi/Po)  ( nach (2) )

                   + ln[1 + b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si)]  .   (5a)

      Im Falle ao = a1 = b1 = 0 geht dieser Ausdruck wieder in den zuvor
      schon genannten einfachen linearen Ausdruck (2) über.

      Wir können nun den Logarithmus des Terms (5a) der Gleichung (5) an
      der Stelle 1 wegen (4) linearisieren:

          (5a) ≈ b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si)  .

      Die Größe 1/Si ist:

          1/Si = exp(Ko∙Mi∙(Pi/Po))/So  ,

      und wenn wir die Exponentialfunktion an der Stelle Null
      linearisieren, so erhalten wir für 1/Si genähert:

          1/Si ≈ (1 + Ko∙Mi∙(Pi/Po))/So .                            (6)

      Damit wird aus dem Term (5a):

          (5a) ≈ b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)∙(1+Ko∙Mi∙(Pi/Po))/(So∙bo)

               = b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(So∙bo)                   (7)

                 + ao∙Ko∙Mi∙(Pi/Po)/(So∙bo)

                 + a1∙Ko∙⌂Ti∙Mi∙(Pi/Po)/(So∙bo) .

      Wir erhalten damit aus (5) durch Einsetzen von (7):

      ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
      │ ln(si) ≈ ln(bo∙So)+ao/(So∙bo)-(1-ao/(So∙bo))∙Ko∙Mi∙(Pi/Po)  │
      │                                                             │(8)
      │          + (b1+a1/So)∙⌂Ti/bo + a1∙Ko∙⌂Ti∙Mi∙(Pi/Po)/(So∙bo) │
      └─────────────────────────────────────────────────────────────┘

      Wir haben also einen konstanten Term und jeweils einen linear von
      ⌂Ti, Mi∙(Pi/Po) und ⌂Ti∙Mi∙(Pi/Po) abhängigen Term.

      Also beschreibt in linearer Näherung der Ausdruck:

      ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
      │ Yi := ln(si) = A+B∙⌂Ti+C∙Mi∙(Pi/Po)+D∙⌂Ti∙Mi∙(Pi/P0)+Vi │    (9)
      └─────────────────────────────────────────────────────────┘

      die Meßwerte unter Voraussetzung (4) hinreichend genau (Vi:
      scheinbarer Fehler), und im Fall ao,a1,b1 --> 0 wie zu
      erwarten sogar exakt. Wenn ao nicht verschwindet, dann ist aber

          Ko = -C/(1-ao/(So∙bo))

      systematisch durch den Bias ao verfälscht! Es ist also wichtig,
      daß das Meßgerät keinen Bias aufweist!!

      Wir fassen zusammen:

          A  : ln(bo∙So)+ao/(So∙bo)
          B  : b1/bo+a1/(So∙/bo)
          C  : -Ko∙(1-ao/(So∙bo))
          D  : a1∙Ko/(So∙bo)
          To : Normtemperatur = 0°C
          Ti : Temperatur in °C des Fotometers bei der i-ten Messung
          Po : Normdruck = 1.01325 Bar (in Meereshöhe, sonst weniger)
          Pi : Luftdruck in Bar bei der i-ten Messung
          Mi : Luftmasse, geometrisch berechnet, bei der i-ten Messung
               (M = 1 im Zenit; Mi∙(Pi/Po) = wahre Luftmasse)
          So : Intensität außerhalb der Atmosphäre
          ao : Bias bei T = 0°C; dieser Wert sollt 0 sein!!
          a1 : da/dT = Temperaturkoeffizient des Bias
          bo : Umwandlungsfaktor ds/dS des Meßgerätes bei ⌂T = 0°C
          b1 : db/dT = Temperaturkoeffizient von db/ds
          Tc : Temperaturkoeffizient des Fotometers,
               Tc = b1/bo+a1/(So∙bo)
          Ko : Atmosphärischer Extinktionskoeffizient bei Normbedingung

      Die Parameter ao, a1, bo, b1 sind Eigenschaften des Meßgerätes,
      die nicht jeden Tag neu mitbestimmt werden müssen.  Vielmehr kann
      man die Messungen mehrer Tage insgesamt zu einer Ausgleichslösung
      zusammenfassen.  Das soll im folgenden betrachtet werden.

      Schreiben wir das Gleichungssystem (10) für g Tage in Matrizendar-
      stellung auf.  Mit

          Yji  := ln(sji), sji = i-ter Fotometerwert des j-ten Tages,
          ⌂Tji := Tj,i - To    = i-ter Temperaturwert des j-ten Tages
          Pji  := Pj,i/P0      = i-ter relativer Druck des j-ten Tages

      erhalten wir:

   ┌     ┐   ┌                                                                                                              ┐        ┌     ┐
   │Y1, 1│   │1  ⌂T1, 1  M1, 1∙P1, 1  ⌂T1, 1∙M1, 1∙P1, 1        0             0                    0             0          │        │V1, 1│
   │  ∙  │   │∙    ∙           ∙             ∙                  ∙             ∙                    ∙             ∙          │        │  ∙  │
   │Y1,n1│   │1  ⌂T1,n1  M1,n1∙P1,n1  ⌂T1,n1∙M1,n1∙P1,n1        0             0                    ∙             ∙          │ ┌  ┐   │V1,n1│
   │Y2, 1│   │1  ⌂T2, 1        0             0            M2, 1∙P2, 1  ⌂T2, 1∙M2, 1∙P2, 1          ∙             ∙          │ │A │   │V2, 1│
   │  ∙  │   │∙    ∙           ∙             ∙                  ∙             ∙                    ∙             ∙          │ │B │   │  ∙  │
   │Y2,n2│   │1  ⌂T2,n2        ∙             ∙            M2,n2∙P2,n2  ⌂T2,n2∙M2,n2∙P2,n2          ∙             ∙          │ │C1│   │V2,n2│
   │  ∙  │ = │∙    ∙           ∙             ∙                  0             0                    ∙             ∙          │∙│D1│ + │  ∙  │(11)
   │  ∙  │   │∙    ∙           ∙             ∙                  ∙             ∙          ∙         ∙             ∙          │ │∙ │   │  ∙  │
   │  ∙  │   │∙    ∙           ∙             ∙                  ∙             ∙             ∙      ∙             ∙          │ │Cg│   │  ∙  │
   │  ∙  │   │∙    ∙           ∙             ∙                  ∙             ∙                ∙   0             0          │ │Dg│   │  ∙  │
   │Yg, 1│   │1  ⌂Tg, 1        .             ∙                  ∙             ∙              Mg, 1∙Pg, 1  ⌂Tg, 1∙Mg, 1∙Pg, 1│ └  ┘   │Vg, 1│
   │  ∙  │   │∙    ∙           ∙             ∙                  ∙             ∙                    ∙             ∙          │        │  ∙  │
   │Yg,ng│   │1  ⌂Tg,ng        0             0                  0             0              Mg,ng∙Pg,ng  ⌂Tg,ng∙Mg,ng∙Pg,ng│        │Vg,ng│
   └     ┘   └                                                                                                              ┘        └     ┘

      Die n1..., ng geben die Messungen der Tage 1 bis g an. Man hat

             g
         N = Σ nj Gleichungen mit M = 2∙g + 2 Unbekannten.
            j=1

      Schreiben wir das Gleichungssystem (11) mit Matrizen:

          Y = F ∙ A + V  ,                                          (12)

      so lautet die Lösung nach der Methode der kleinsten Fehler-
      quadrate:

                     -1
          AM = (F'∙F)  ∙ F'∙Y  ,                                    (13)

      und mit:

                              ┌    ┐½
                              │V'∙V│
          V = Y - F∙AM,  FY = │────│                          (14), (15)
                              │N-M │
                              └    ┘

      folgt für die Kovarianzmatrix Ca der AM:

                          -1
          Ca =  FY²∙(F'∙F)   .

      Versuchen wir Ca abzuschätzen.

      Schreiben wir zunächst F'∙F als oberes Dreieck auf:

   ┌                                                                                                                                          ┐
   │   g,ng          n1             n1                      n2             n2                              ng             ng                  │
   │N   Σ  ⌂Tj,i     Σ M1,i∙P1,i    Σ  ⌂T1,i∙M1,i∙P1,i      Σ M2,i∙P2,i    Σ  ⌂T2,i∙M2,i∙P1,2   ∙  ∙  ∙    Σ Mg,i∙Pg,i    Σ  ⌂Tg,i∙Mg,i∙Pg,2  │
   │   j,i           i              i                       i              i                               i              i                   │
   │                                                                                                                                          │
   │   g,ng     2 n1                n1      2            n2                n2      2                    ng                ng      2           │
   │*   Σ  ⌂Tj,i  Σ ⌂T1,i∙M1,i∙P1,i Σ  ⌂T1,i ∙M1,i∙P1,i  Σ ⌂T2,i∙M2,i∙P2,i Σ  ⌂T2,i ∙M2,i∙P2,i          Σ ⌂Tg,i∙Mg,i∙Pg,i Σ  ⌂Tg,i ∙Mg,i∙Pg,i │
   │   j,i        i                 i                    i                 i                            i                 i                   │
   │                                                                                                                                          │
   │                 n1┌         ┐2 n1           2     2                                                                                      │
   │*      *         Σ │M1,i∙P1,i│  Σ  ⌂T1,i∙M1,i ∙P1,i         0                   0                          0                   0          │
   │                 i └         ┘  i                                                                                                         │
   │                                                                                                                                          │
   │                                n1┌               ┐2                                                                                      │
   │*      *               *        Σ │⌂T1,i∙M1,i∙P1,i│         0                   0                          ∙                   ∙          │
   │                                i └               ┘                                                                                       │
   │                                                                                                                                          │
   │                                                      n2┌         ┐2   n2           2     2                                               │
   │∙      ∙               ∙                 *            Σ │M2,i∙P2,i│    Σ  ⌂T2,i∙M2,i ∙P2,i                 ∙                   ∙          │
   │                                                      i └         ┘    i                                                                  │
   │                                                                                                                                          │
   │                                                                       n2┌               ┐2                                               │
   │∙      ∙               ∙                 ∙                  *          Σ │⌂T2,i∙M2,i∙P2,i│                 ∙                   ∙          │
   │                                                                       i └               ┘                                                │
   │                                                                                            ∙                                             │
   │                                                                                                                                          │
   │∙      ∙               ∙                 ∙                  ∙                   *              ∙           ∙                   ∙          │
   │                                                                                                                                          │
   │                                                                                                  ∙                                       │
   │                                                                                                     ng┌         ┐2   ng           2     2│
   │∙      ∙               ∙                 ∙                  ∙                   ∙                    Σ │Mg,i∙Pg,i│    Σ  ⌂Tg,i∙Mg,i ∙Pg,i │
   │                                                                                                     i └         ┘    i                   │
   │                                                                                                                                          │
   │                                                                                                                      ng┌               ┐2│
   │*      *               *                 *                  *                   *           ∙  ∙  ∙        *          Σ │⌂Tg,i∙Mg,i∙Pg,i│ │
   │                                                                                                                      i └               ┘ │
   └                                                                                                                                          ┘

      Zur Abschätzung genügt es, sich auf den folgenden vereinfachenden
      Fall zu beschränken:

      1) Im statistischen Mittel seien alle Summen, die den Term
         ⌂Tj,i linear enthalten, gleich 0.

      2) Im statistischen Mittel können wir in allen Summen, die den
         Term Pji enthalten, diesen durch 1 ersetzen.

      Die obige Matrix F'∙F sieht dann aus wie folgt:

         ┌                                                                                                            ┐
         │                n1                           n2                                  ng                         │
         │ N      0       Σ M1,i           0           Σ M2,i           0          . . .   Σ Mg,i           0         │
         │                i                            i                                   i                          │
         │                                                              .                                             │
         │    g,ng     2             n1      2                    n1      2                           ng      2       │
         │ *   Σ  ⌂Tj,i      0       Σ  ⌂T1,i ∙M1,i       0       Σ  ⌂T1,i ∙M1,i              0       Σ  ⌂Tg,i ∙Mg,i  │
         │    j,i                    i                            i                                   i               │
         │                                                .             .                     .                       │
         │                n1┌    ┐2                                                                                   │
         │ *      *       Σ │M1,i│         0              .             .                     .             0         │
         │                i └    ┘                                                                                    │
         │                                                .             .                     .             .         │
         │                           n1┌          ┐2                                                                  │
         │ *      *          *       Σ │⌂T1,i∙M1,i│       0             .                     .             .         │
         │                           i └          ┘                                                                   │
         │ .      .          .                                          .                     .             .         │
         │                                             n2┌    ┐2                                                      │
         │ .      .          .             *           Σ │M2,i│         0                     .             .         │
         │                                             i └    ┘                                                       │
         │ .      .          .             .                                                  .             .         │
         │                                                        n2┌          ┐2                                     │
         │ .      .          .             .              *       Σ │⌂T2,i∙M2,i│              .             .         │
         │                                                        i └          ┘                                      │
         │ .      .          .             .              .             .          .          .             .         │
         │                                                                           .                                │
         │ .      .          .             .              .             .              .   ng┌    ┐2                  │
         │                                                                                 Σ │Mg,i│         0         │
         │ .      .          .             .              .             .                  i └    ┘                   │
         │                                                                                                            │
         │ .      .          .             .              .             .                     .       ng┌          ┐2 │
         │                                                                                            Σ │⌂Tg,i∙Mg,i│  │
         │ *      *          *             *              *             *                     *       i └          ┘  │
         └                                                                                                            ┘

      Diese Matrix müßte nun invertiert werden um die Kovarianzmatrix zu
      erhalten und damit die Varianzen der Parameter. (Wird noch
      fortgesetzt)

      In "SCIENTIFIC AMERICAN" vom Mai 1997, Seite 81, wird für
      l ≈ 525 nm Wellenlänge die 'Aerosol Optical Thickness' AOT wie
      folgt definiert:

                ┌              M∙P ┐  1
          AOT = │ -ln(S/So) - ──── │∙───  ,                         (#1)
                └             8.66 ┘  M

      P = Luftdruck in Bar, die Konstante 8.66 ist ein empirischer
      Wert und so gewählt, daß bei 525 nm Wellenlänge ohne Aerosole AOT
      Null ist.  Setzt man (1) in (#1) ein, so folgt:

                      P
          AOT = K - ──── .                                          (#2)
                    8.66

      AOT ist also die durch Aesosole zusätzlich bedingte Extinktion bei
      der Luftmasse M = 1.