Die Messung der atmosphärischen Extinktion
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Zunächst die Erläuterung der zu messenden Größe. Wir setzen
voraus, daß die Messung mittels der Sonne - als konstant
anzusehende Strahlungsquelle - in einem relativ schmalen
Wellenlängenbereich bei der Schwerpunktwellenlänge L stattfindet.
Sei z die Zenitdistanz der Sonne, und sei So der außerhalb der
Erdatmosphäre eintreffende Strahlungsstrom der Sonne im zu
betrachtenden Spektralbereich. Dann gilt für die Änderung dS des
Strahlungsstromes S mit zunehmender Höhe über eine dünne
Luftschicht der Dicke dh in der Höhe h (über Meeresspiegel):
S∙k(h)
dS = ───────∙dh = M∙S∙k(h)∙dh ,
cos(z)
mit der Definition der geometrische Luftmasse M:
┌─────────────┐
│ 1 │
│ M := ────── │ geometrische Luftmasse
│ cos(z) │
└─────────────┘
folgt weiter:
dS
── = M∙k(h)∙dh ,
S
dln(S) = M∙k(h)∙dh .
Man integriert von h = 0 (Meereshöhe) bis h = ∞ (über Atmosphäre),
und mit S := S(Meereshöhe) und So := S(über Atmosphäre)
erhalten wir:
h=∞
⌠
ln(So) - ln(S) = M∙ │ k(h)∙dh = M∙K ,
⌡
h=0
┌─────────────────────────┐
│ ln(S/So) = -M∙K oder │
│ │ (1)
│ ln(S) = ln(So) -K∙M │
└─────────────────────────┘
mit der Definitionen:
┌───────────────┐
│ h=∞ │
│ ⌠ │
│ K = │ k(h)∙dh │ für die Extinktion der Atmosphäre.
│ ⌡ │
│ h=0 │
└───────────────┘
S und So werden in willkürlichen aber denselben Einheiten benutzt.
Die Luftmasse variiert je nach Zenitdistanz zwischen 1 (Sonne im
Zenit) und Unendlich, wenn wir die Erdkrümmung vernachlässigen
könnten. Mißt man bei klarem Himmel für verschiedene (aber wegen
der Erdkrümmung nicht zu große) Zenitdistanzen z und damit
Luftmassen M die Größe ln(S), so kann man den Wert ln(So) für
M = 0 ermitteln. Damit ist aber auch die Extinktion K für M = 1
bekannt!
Wie erfolgt nun praktisch die Bestimmung der atmosphärischen
Extinktion um eine Schwerpunktwellenlänge L? Wir setzen für die
folgenden Ausführungen voraus, daß wir mit einem linear
anzeigenden Fotometer mit einem relativ eng begrenzten
Wellenlängenbereich (≈10 nm) arbeiten. Ferner setzen wir voraus,
daß - wie schon zuvor erwähnt - die Leuchtkraft der Sonne konstant
ist.
Mißt man zu verschiedenen Zenitdistanzen zi - also zu
verschiedenen geometrischen Luftmassen Mi - die Strahlungsströme
Si und trägt den Logarithmus der Strahlungsströme gegen die
Luftmassen auf, so erhalten wir etwa folgende Tabelle:
Meßwerte │ Luftmassen
─────────┼───────────
ln(S1) │ M1
∙ │ ∙
∙ │ ∙
∙ │ ∙
ln(Sn) │ Mn
Die Werte setzen wir jeweils in die Gleichung (1) ein und fügen
noch die Abweichungen Vi hinzu, da ja die Gleichung für ein
Lösungspaar {ln(S0),K} nicht für alle Meßpaare {ln(Si),Mi}
erfüllbar ist, so daß wir folgendes Gleichungssystem erhalten:
ln(S1) = ln(So) - K∙M1 + V1
∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙
ln(Sn) = ln(So) - K∙Mn + Vn ,
die Vi werden auch 'scheinbare Fehler' genannt. Dieses lineare
Gleichungssystem enthält die zwei unbekannten Größen, nämlich:
A1 := ln(So) ,
A2 := K ,
die sich nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmen
lassen. Damit ist das Prinzip der Bestimmung der atmosphärischen
Extinktion beschrieben.
In der Praxis würde die Ermittlung der Intensität So (außerhalb
der Atmosphäre) und der Extinktion K wie folgt ablaufen. An einem
klaren Tag werden von morgens bis mittags oder mittags bis abends
oder auch von morgens bis abends die Intensitäten Si als Funktion
der Zenitdistanzen zi, der Temperaturen Ti und der Luftdrücke Pi
gemessen. Aus den zi berechnet man die geometrischen Luftmassen
Mi (Mi = 1/cos(zi) für nicht zu große zi). Wenn wir (zunächst)
Luftdruck P und Temperatur T unberücksichtigt lassen, dann ergibt
eine graphische Darstellung der Messungen etwa folgendes Bild,
wobei die Abszisse den natürlichen Logarithmus der Meßwerte in
willkürlichen Einheiten darstellt:
0 1 2 3
┌────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┐
├ ┤
0 ├ ─ ─*─ ─ ─ ─ ─┼─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┤ 0
├ ┤
ln(S)-ln(So) ├ │ ┤
= ln(S/So) ├ x ┤
├ │ x ┤
-½ ├ x ┤ -½
├ │ x ┤
├ ┤
├ │ ┤
├ ┤
-1 ├ │ ┤ -1
├ ┤
└────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┘
0 1 M(z) 2 3
x = Meßpunkte
In der Praxis sieht es dann etwa komplizierter aus, wenn man
nämlich noch den Einfluß des Luftdrucks und die eventuelle
Temperaturabhängigkeit des Meßgerätes (Fotometers) berücksichtigen
muß bzw. will, aber dazu haben wir ja auch P und T registriert.
Entsprechend (1) können wir dann mit Berücksichtigung
des Luftdrucks Pi schreiben (Po := Normaldruck der Atmosphäre am
Beobachtungsort):
┌────────────────────────────────┐
│ ln(Si) = ln(So) -Ko∙Mi∙(Pi/Po) │ , (2)
└────────────────────────────────┘
dabei sei mit Ko die Extinktion gemeint, die sich auf den
atmosphärischen Druck Po am Ort der Beobachtung bezieht. Übrigens
spielt die Temperatur in dieser Formel keine Rolle, da die wahre
Luftmasse (im wesentlichen) allein durch den Druck bestimmt wird.
* * *
Die Temperatur spielt dann eine Rolle, wenn die Eigenschaften des
Meßgerätes von der Temperatur abhängen, was insbesondere zutrifft,
wenn ein Halbleiter als optischer Empfänger benutzt wird, etwa
eine Fotodiode. Das Gerät messe den Strahlungsstrom Si und zeige
den Meßwert si an. Nehmen wir an, daß das Meßgerät exakt linear
arbeitet, jedoch seien sowohl der eventuell vorhandene Bias
a := ao+a1∙⌂Ti als auch der Konvertierungsfaktor b := bo+b1∙⌂Ti
(b := ⌂si/⌂Si) temperaturabhängig. Bei einem Strahlungsstrom Si
zeigt dann das Meßgerät den Meßwert si an:
si = ao + a1∙⌂Ti + (bo + b1∙⌂Ti)∙Si , (3)
mit ⌂Ti = Ti - To, To sei die Normaltemperatur als
Bezugstemperatur. Diese Korrekturen sind klein, so daß wir stets
annehmen dürfen:
|ao+a1∙⌂Ti| |b1∙⌂Ti|
─────────── « 1 und ──────── « 1 . (4)
|bo∙Si| |bo|
Wir wollen nun abschätzen, inwieweit die Bestimmung von Ko durch
die Koeffizienten ao, a1 und b1 beeinflußt wird. Zur Auswertung
bilden wir den natürlichen Logarithmus von si und betrachten
diesen als auszugleichenden Meßwert. Es ist:
┌ ┐
ln(si) = ln│ao + a1∙⌂Ti + (bo + b1∙⌂Ti)∙Si│ (5)
└ ┘
┌ ┐
= ln│bo∙Si∙[1 + b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si)]│
└ ┘
= ln(bo∙Si)
+ ln[1 + b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si)]
= ln(bo∙So) - Ko∙Mi∙(Pi/Po) ( nach (2) )
+ ln[1 + b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si)] . (5a)
Im Falle ao = a1 = b1 = 0 geht dieser Ausdruck wieder in den zuvor
schon genannten einfachen linearen Ausdruck (2) über.
Wir können nun den Logarithmus des Terms (5a) der Gleichung (5) an
der Stelle 1 wegen (4) linearisieren:
(5a) ≈ b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(bo∙Si) .
Die Größe 1/Si ist:
1/Si = exp(Ko∙Mi∙(Pi/Po))/So ,
und wenn wir die Exponentialfunktion an der Stelle Null
linearisieren, so erhalten wir für 1/Si genähert:
1/Si ≈ (1 + Ko∙Mi∙(Pi/Po))/So . (6)
Damit wird aus dem Term (5a):
(5a) ≈ b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)∙(1+Ko∙Mi∙(Pi/Po))/(So∙bo)
= b1∙⌂Ti/bo + (ao + a1∙⌂Ti)/(So∙bo) (7)
+ ao∙Ko∙Mi∙(Pi/Po)/(So∙bo)
+ a1∙Ko∙⌂Ti∙Mi∙(Pi/Po)/(So∙bo) .
Wir erhalten damit aus (5) durch Einsetzen von (7):
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ ln(si) ≈ ln(bo∙So)+ao/(So∙bo)-(1-ao/(So∙bo))∙Ko∙Mi∙(Pi/Po) │
│ │(8)
│ + (b1+a1/So)∙⌂Ti/bo + a1∙Ko∙⌂Ti∙Mi∙(Pi/Po)/(So∙bo) │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
Wir haben also einen konstanten Term und jeweils einen linear von
⌂Ti, Mi∙(Pi/Po) und ⌂Ti∙Mi∙(Pi/Po) abhängigen Term.
Also beschreibt in linearer Näherung der Ausdruck:
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Yi := ln(si) = A+B∙⌂Ti+C∙Mi∙(Pi/Po)+D∙⌂Ti∙Mi∙(Pi/P0)+Vi │ (9)
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
die Meßwerte unter Voraussetzung (4) hinreichend genau (Vi:
scheinbarer Fehler), und im Fall ao,a1,b1 --> 0 wie zu
erwarten sogar exakt. Wenn ao nicht verschwindet, dann ist aber
Ko = -C/(1-ao/(So∙bo))
systematisch durch den Bias ao verfälscht! Es ist also wichtig,
daß das Meßgerät keinen Bias aufweist!!
Wir fassen zusammen:
A : ln(bo∙So)+ao/(So∙bo)
B : b1/bo+a1/(So∙/bo)
C : -Ko∙(1-ao/(So∙bo))
D : a1∙Ko/(So∙bo)
To : Normtemperatur = 0°C
Ti : Temperatur in °C des Fotometers bei der i-ten Messung
Po : Normdruck = 1.01325 Bar (in Meereshöhe, sonst weniger)
Pi : Luftdruck in Bar bei der i-ten Messung
Mi : Luftmasse, geometrisch berechnet, bei der i-ten Messung
(M = 1 im Zenit; Mi∙(Pi/Po) = wahre Luftmasse)
So : Intensität außerhalb der Atmosphäre
ao : Bias bei T = 0°C; dieser Wert sollt 0 sein!!
a1 : da/dT = Temperaturkoeffizient des Bias
bo : Umwandlungsfaktor ds/dS des Meßgerätes bei ⌂T = 0°C
b1 : db/dT = Temperaturkoeffizient von db/ds
Tc : Temperaturkoeffizient des Fotometers,
Tc = b1/bo+a1/(So∙bo)
Ko : Atmosphärischer Extinktionskoeffizient bei Normbedingung
Die Parameter ao, a1, bo, b1 sind Eigenschaften des Meßgerätes,
die nicht jeden Tag neu mitbestimmt werden müssen. Vielmehr kann
man die Messungen mehrer Tage insgesamt zu einer Ausgleichslösung
zusammenfassen. Das soll im folgenden betrachtet werden.
Schreiben wir das Gleichungssystem (10) für g Tage in Matrizendar-
stellung auf. Mit
Yji := ln(sji), sji = i-ter Fotometerwert des j-ten Tages,
⌂Tji := Tj,i - To = i-ter Temperaturwert des j-ten Tages
Pji := Pj,i/P0 = i-ter relativer Druck des j-ten Tages
erhalten wir:
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│Y1, 1│ │1 ⌂T1, 1 M1, 1∙P1, 1 ⌂T1, 1∙M1, 1∙P1, 1 0 0 0 0 │ │V1, 1│
│ ∙ │ │∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │ ∙ │
│Y1,n1│ │1 ⌂T1,n1 M1,n1∙P1,n1 ⌂T1,n1∙M1,n1∙P1,n1 0 0 ∙ ∙ │ ┌ ┐ │V1,n1│
│Y2, 1│ │1 ⌂T2, 1 0 0 M2, 1∙P2, 1 ⌂T2, 1∙M2, 1∙P2, 1 ∙ ∙ │ │A │ │V2, 1│
│ ∙ │ │∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │B │ │ ∙ │
│Y2,n2│ │1 ⌂T2,n2 ∙ ∙ M2,n2∙P2,n2 ⌂T2,n2∙M2,n2∙P2,n2 ∙ ∙ │ │C1│ │V2,n2│
│ ∙ │ = │∙ ∙ ∙ ∙ 0 0 ∙ ∙ │∙│D1│ + │ ∙ │(11)
│ ∙ │ │∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │∙ │ │ ∙ │
│ ∙ │ │∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │Cg│ │ ∙ │
│ ∙ │ │∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 0 │ │Dg│ │ ∙ │
│Yg, 1│ │1 ⌂Tg, 1 . ∙ ∙ ∙ Mg, 1∙Pg, 1 ⌂Tg, 1∙Mg, 1∙Pg, 1│ └ ┘ │Vg, 1│
│ ∙ │ │∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ │ │ ∙ │
│Yg,ng│ │1 ⌂Tg,ng 0 0 0 0 Mg,ng∙Pg,ng ⌂Tg,ng∙Mg,ng∙Pg,ng│ │Vg,ng│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
Die n1..., ng geben die Messungen der Tage 1 bis g an. Man hat
g
N = Σ nj Gleichungen mit M = 2∙g + 2 Unbekannten.
j=1
Schreiben wir das Gleichungssystem (11) mit Matrizen:
Y = F ∙ A + V , (12)
so lautet die Lösung nach der Methode der kleinsten Fehler-
quadrate:
-1
AM = (F'∙F) ∙ F'∙Y , (13)
und mit:
┌ ┐½
│V'∙V│
V = Y - F∙AM, FY = │────│ (14), (15)
│N-M │
└ ┘
folgt für die Kovarianzmatrix Ca der AM:
-1
Ca = FY²∙(F'∙F) .
Versuchen wir Ca abzuschätzen.
Schreiben wir zunächst F'∙F als oberes Dreieck auf:
┌ ┐
│ g,ng n1 n1 n2 n2 ng ng │
│N Σ ⌂Tj,i Σ M1,i∙P1,i Σ ⌂T1,i∙M1,i∙P1,i Σ M2,i∙P2,i Σ ⌂T2,i∙M2,i∙P1,2 ∙ ∙ ∙ Σ Mg,i∙Pg,i Σ ⌂Tg,i∙Mg,i∙Pg,2 │
│ j,i i i i i i i │
│ │
│ g,ng 2 n1 n1 2 n2 n2 2 ng ng 2 │
│* Σ ⌂Tj,i Σ ⌂T1,i∙M1,i∙P1,i Σ ⌂T1,i ∙M1,i∙P1,i Σ ⌂T2,i∙M2,i∙P2,i Σ ⌂T2,i ∙M2,i∙P2,i Σ ⌂Tg,i∙Mg,i∙Pg,i Σ ⌂Tg,i ∙Mg,i∙Pg,i │
│ j,i i i i i i i │
│ │
│ n1┌ ┐2 n1 2 2 │
│* * Σ │M1,i∙P1,i│ Σ ⌂T1,i∙M1,i ∙P1,i 0 0 0 0 │
│ i └ ┘ i │
│ │
│ n1┌ ┐2 │
│* * * Σ │⌂T1,i∙M1,i∙P1,i│ 0 0 ∙ ∙ │
│ i └ ┘ │
│ │
│ n2┌ ┐2 n2 2 2 │
│∙ ∙ ∙ * Σ │M2,i∙P2,i│ Σ ⌂T2,i∙M2,i ∙P2,i ∙ ∙ │
│ i └ ┘ i │
│ │
│ n2┌ ┐2 │
│∙ ∙ ∙ ∙ * Σ │⌂T2,i∙M2,i∙P2,i│ ∙ ∙ │
│ i └ ┘ │
│ ∙ │
│ │
│∙ ∙ ∙ ∙ ∙ * ∙ ∙ ∙ │
│ │
│ ∙ │
│ ng┌ ┐2 ng 2 2│
│∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Σ │Mg,i∙Pg,i│ Σ ⌂Tg,i∙Mg,i ∙Pg,i │
│ i └ ┘ i │
│ │
│ ng┌ ┐2│
│* * * * * * ∙ ∙ ∙ * Σ │⌂Tg,i∙Mg,i∙Pg,i│ │
│ i └ ┘ │
└ ┘
Zur Abschätzung genügt es, sich auf den folgenden vereinfachenden
Fall zu beschränken:
1) Im statistischen Mittel seien alle Summen, die den Term
⌂Tj,i linear enthalten, gleich 0.
2) Im statistischen Mittel können wir in allen Summen, die den
Term Pji enthalten, diesen durch 1 ersetzen.
Die obige Matrix F'∙F sieht dann aus wie folgt:
┌ ┐
│ n1 n2 ng │
│ N 0 Σ M1,i 0 Σ M2,i 0 . . . Σ Mg,i 0 │
│ i i i │
│ . │
│ g,ng 2 n1 2 n1 2 ng 2 │
│ * Σ ⌂Tj,i 0 Σ ⌂T1,i ∙M1,i 0 Σ ⌂T1,i ∙M1,i 0 Σ ⌂Tg,i ∙Mg,i │
│ j,i i i i │
│ . . . │
│ n1┌ ┐2 │
│ * * Σ │M1,i│ 0 . . . 0 │
│ i └ ┘ │
│ . . . . │
│ n1┌ ┐2 │
│ * * * Σ │⌂T1,i∙M1,i│ 0 . . . │
│ i └ ┘ │
│ . . . . . . │
│ n2┌ ┐2 │
│ . . . * Σ │M2,i│ 0 . . │
│ i └ ┘ │
│ . . . . . . │
│ n2┌ ┐2 │
│ . . . . * Σ │⌂T2,i∙M2,i│ . . │
│ i └ ┘ │
│ . . . . . . . . . │
│ . │
│ . . . . . . . ng┌ ┐2 │
│ Σ │Mg,i│ 0 │
│ . . . . . . i └ ┘ │
│ │
│ . . . . . . . ng┌ ┐2 │
│ Σ │⌂Tg,i∙Mg,i│ │
│ * * * * * * * i └ ┘ │
└ ┘
Diese Matrix müßte nun invertiert werden um die Kovarianzmatrix zu
erhalten und damit die Varianzen der Parameter. (Wird noch
fortgesetzt)
In "SCIENTIFIC AMERICAN" vom Mai 1997, Seite 81, wird für
l ≈ 525 nm Wellenlänge die 'Aerosol Optical Thickness' AOT wie
folgt definiert:
┌ M∙P ┐ 1
AOT = │ -ln(S/So) - ──── │∙─── , (#1)
└ 8.66 ┘ M
P = Luftdruck in Bar, die Konstante 8.66 ist ein empirischer
Wert und so gewählt, daß bei 525 nm Wellenlänge ohne Aerosole AOT
Null ist. Setzt man (1) in (#1) ein, so folgt:
P
AOT = K - ──── . (#2)
8.66
AOT ist also die durch Aesosole zusätzlich bedingte Extinktion bei
der Luftmasse M = 1.