┌     T     α┐
                       Integral über exp│-½∙(X ∙B∙X) │
                                        └            ┘
                       ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
                                           T
                         über den Bereich X ∙B∙X < r²
                         ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

      Es seien die folgenden Voraussetzungen erfüllt:

              T
          1. X ∙B∙X > 0  für alle X ╪ 0, X ε Rⁿ (B positiv definit),

          2. α > 0,  eine Konstante.

      Da B positiv definit ist, gibt es eindeutig eine positiv definite
      Matrix √B, und wir können die folgende Transformation definieren:

          Y = √B∙X mit dⁿY = │√B│∙dⁿX = √│B│∙dⁿX  .                  (1)

      Betrachten wir nun das Integral über die Funktion:

                            ┌        ┐½        T     α
                  α∙Γ(n/2)  │  │B│   │    -½∙(X ∙B∙X)
          f(X) = ──────────∙│────────│ ∙ e             .             (2)
                 Γ(n/(2∙α)) │  n  n/α│
                            └ π ∙2   ┘

                                     T
      Das Integral über den Bereich X ∙B∙X < r² ist dann:

                 ⌠
          I(r) = │ f(X)∙dⁿX                                          (3)
                 ⌡
               T
              Y ∙Y < r²

      und mit der Transformation (1):

                 ⌠                               T   α
                 │  α∙Γ(n/2)      1         -½∙(Y ∙Y)
          I(r) = │ ──────────∙────────── ∙ e          ∙dⁿY .         (4)
                 │ Γ(n/(2∙α)) ┌ n  n/α┐½
                 ⌡            │π ∙2   │
               T              └       ┘
              Y ∙Y < r²

      Mit Hilfe von Kugelkoordinaten im Rⁿ erhalten wir über das Volumen
      der n-dimensionalen Kugel:

                  rⁿ 2∙√πⁿ
          V(r) = ───∙────── ,                                        (5)
                  n  Γ(n/2)

      und mit

                  n-1 2∙√πⁿ
          dⁿV  = r   ∙──────∙dr ,  r² = Y'∙Y,  dⁿV ≡ dⁿY             (6)
                      Γ(n/2)

      lautet dann I(r):

                                              r              α
                     α∙Γ(n/2)∙2∙√πⁿ           ⌠  n-1  -½[r'²]
          I(r) = ────────────────────────────∙│r'   ∙e        ∙dr',  (7)
                            ┌ n  n/α┐½        ⌡
                 Γ(n/(2∙α))∙│π ∙2   │ ∙Γ(n/2) 0
                            └       ┘

                    1-(n/(2∙α)) r              α
                 α∙2            ⌠  n-1  -½[r'²]
          I(r) = ──────────────∙│r'   ∙e        ∙dr' .               (8)
                  Γ(n/(2∙α))    ⌡
                                0

      Mit der Transformation:

             2∙α               1/(2∙α)                  1/(2∙α)-1
          ½∙r    = t, r = (2∙t)       , dr = (1/α)∙(2∙t)         ∙dt
                                                                     (9)
           n-1                 n/(2∙α)-1
          r   ∙dr = (1/α)∙(2∙t)         ∙dt

      erhält man schließlich:

                              2∙α
                           ½∙r
                     1      ⌠  n/(2∙α)-1  -t
          I(r) = ──────────∙│ t         ∙e  ∙dt ,
                 Γ(n/(2∙α)) ⌡
                            0

          ┌─────────────────────────────┐
          │         ┌             2∙α ┐ │
          │ I(r) = P│ n/(2∙α), ½∙r    │ │                           (10)
          │         └                 ┘ │
          └─────────────────────────────┘

      Dabei stellt

                           x
                     1     ⌠  a-1  -t
          P(a,x) := ──── ∙ │ t   ∙e  ∙dt                            (11)
                    Γ(a)   ⌡
                           0

      die unvollständige Gammafunktion dar.  Es gilt für r ─> +∞:
      I(+∞) = 1.

          ┌                                                   ┐
          │               (n/2-1)!      für n gerade, n > 0   │
          │                                                   │
          │ Γ(n/2) =                                          │
          │            √π     (n+1)!                          │
          │           ──── ∙──────────  für n ungerade, n > 0 │
          └           n∙2ⁿ  ((n+1)/2)!                        ┘