Finden von Sternen in einem CCD-File
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Wenn man "hot pixels" nicht als Stern deuten will, dann muß man
annehmen, daß ein Stern sich jeweils in x- und y-Richtung vom
Untergrund um mindestens 3 Pixel hervorhebt. Die Intensität eines
Sterns sollte sich in erster Näherung in einem quadratischen
Pixelfeld der Seitenlänge n durch eine Gaußfunktion der Form
┌ ┐
│ ┌ (xi-xo)²+(yi-yo)²┐│
g(xi,yi;σ) = a + b∙exp│-½│──────────────────││ , (1)
│ └ σ² ┘│
└ ┘
xi = xe + n∙((i-1)/n) , yi = ye + mod(i-1,n) (2)
darstellen lassen. Dazu betrachten wir ein nxn-Pixelfeld:
xi -->
┌──────────┬──────────┬ ┬──────────┐
│ i=1 │ i=n+1 │ │i=n(n-1)+1│
│xi=xe │xi=xe+1 │ │xi=xe+n │ (xi,yi)
│yi=ye │yi=ye │ .. │yi=ye │
│ │ │ │ │
├──────────┼──────────┼ ┼──────────┤
yi │ i=2 │ i=n+2 │ │i=n(n-1)+2│
│xi=xe │xi=xe+1 │ .. │xi=xe+n │
│ │yi=ye+1 │yi=ye+1 │ │yi=ye+1 │
\│/ │ │ │ │ │
├──────────┼──────────┼ ┼──────────┤
.. .. ..
├──────────┼──────────┼ ┼──────────┤
│ i=n │ i=2n │ │ i=n² │
│xi=xe │xi=xe+1 │ .. │xi=xe+n │
│yi=ye+n │yi=ye+n │ │yi=ye+n │
│ │ │ │ │
└──────────┴──────────┴ ┴──────────┘
Die Koordinaten xi,yi seien ganzzahlig entsprechend der
Pixelanzahl des Bildes.
Mit einer Filterfunktion f(xi,yi;σ) wollen wir nun versuchen,
Sterne im gesamten Bild zu finden. Die Filterfunktion werde
in folgender Art vorgegeben:
┌ ┐
│ ┌ (xi-xm)²+(yi-ym)²┐│
f(xi,yi;Γ) = α + ß∙exp│-½│──────────────────││ , (3)
│ └ Γ² ┘│
└ ┘
xi = xe + n∙((i-1)/n) , yi = ye + mod(i-1,n) ,
xm = xe + ½∙(n-1) , ym = ye + ½∙(n-1) ,
und α,ß so, daß für xo = xm, yo = ym und σ = Γ gilt:
n²
1. Σ f(xi,yi;σ) = 0 , (4)
i=1
n²
2. K := Σ f(xi,yi;σ)∙g(xi,yi;σ) = b . (5)
i=1
Im Falle sowohl übereinstimmender Lage von Stern und Filter
als auch übereinstimmender Streuungen σ,Γ würden wir gerade die
Amplitude des Sterns erhalten.
Der Einfluß der Nichtübereinstimmung von Lage und Streuungen soll
die Abweichung mit einer Integralabschätzung berechnet werden.
Wir bilden:
+s,+s
⌠⌠
K(u,v) = ││ F(x-u,y-v;Γ)∙G(x,y;σ)∙dx∙dy (6)
⌡⌡
-s,-s
mit
1 ┌ x²+y² ┐ 1
F(x,y) = ──────∙exp│───────│ - ─── (7)
π∙Γ² └ -2∙Γ² ┘ 2∙s²
und
┌ x²+y² ┐
G(x,y) = C ∙ exp│───────│ . (8)
└ -2∙σ² ┘
F und G sind so geschrieben, daß
+s,+s
⌠⌠
1. lim ││ F(x,y)∙dx∙dy = 0 , (9)
s-->∞ ⌡⌡
-s,-s
+s,+s
⌠⌠
2. lim ││ F(x,y)∙G(x,y)∙dx∙dy = C wenn σ=Γ . (10)
s-->∞ ⌡⌡
-s,-s
u,v geben den Versatz der Filterfunktion gegenüber dem Stern an.
Der Integrationsbereich von -s bis +s sei endlich aber hinreichend
groß gewählt, so daß die Exponentialfunktionen außerhalb praktisch
nicht mehr zu den Integralwerten beitragen und daher (9) und (10)
gelten.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man v = 0 setzen und
erhält dann mit (7) und (8) in (6) eingesetzt (mit lim s --> ∞):
+∞,+∞ ┌ ┌ ┐┐
C ⌠⌠ │ │(x-u)²+y² x²+y²││
K(u,0) = ──── ∙ ││ exp│-½│───────── + ─────││∙dx∙dy . (11)
π∙Γ² ⌡⌡ │ │ Γ² σ² ││
-∞,-∞ └ └ ┘┘
Der Exponent lautet:
┌ ┌ ┐ ┌ ┐┐
│ │ 1 1 │ u u² │ 1 1 ││
-½∙│x²∙│─── + ───│ -2x∙─── + ─── + y²∙│─── + ───││
│ │ Γ² σ²│ Γ² Γ² │ Γ² σ²││
└ └ ┘ └ ┘┘
┌ ┐
│ σ²+Γ² u u² σ²+Γ²│
= -½∙│x²∙───── -2x∙─── + ─── + y²∙─────│
│ Γ²∙σ² Γ² Γ² Γ²∙σ²│
└ ┘
┌ ┌ ┐ ┐
│σ²+Γ² │ σ² σ²∙σ² │ u²σ² u² σ²+Γ²│
= -½∙│─────∙│x²-2x∙u∙─────+u²∙────────│-─────────+──+y²∙─────│
│Γ²∙σ² │ σ²+Γ² (σ²+Γ²)²│ Γ²(σ²+Γ²) Γ² Γ²∙σ²│
└ └ ┘ ┘
┌ ┌ ┐2 ┐
│σ²+Γ² │ σ² │ u²σ² u² σ²+Γ²│
= -½∙│─────∙│x - u∙─────│ - ───────── + ── + y²∙─────│ .
│Γ²∙σ² │ σ²+Γ²│ Γ²(σ²+Γ²) Γ² Γ²∙σ²│
└ └ ┘ ┘
Damit zerfällt das Ingegral (11) :
┌ ┐ +∞ ┌ ┐
C │ -½u²│ ⌠ │ σ²+Γ²│
K(u,0) = ────∙exp│─────│∙│ exp│-½∙y²∙─────│∙dy
π∙Γ² │σ²+Γ²│ ⌡ │ Γ²∙σ²│
└ ┘ -∞ └ ┘
+∞ ┌ ┌ ┐2┐
⌠ │ σ²+Γ² │ u∙σ² │ │
∙│ exp│-½∙─────∙│x-─────│ │∙dx
⌡ │ Γ²∙σ² │ σ²+Γ²│ │
-∞ └ └ ┘ ┘
┌ ┐ ┌ ┐½ ┌ ┐½
C │ -½u²│ │2π∙Γ².σ²│ │2π∙Γ².σ²│
= ────∙exp│─────│∙│────────│ ∙│────────│ ,
π∙Γ² │σ²+Γ²│ │ Γ²+σ² │ │ Γ²+σ² │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌────────────────────────────┐
│ ┌ ┐ │
│ 2.σ²∙C │ -½u²│ │
│ K(u,0) = ──────∙exp│─────│ │
│ Γ²+σ² │σ²+Γ²│ │
│ └ ┘ │
└────────────────────────────┘ .
Finden von Sternen in einem CCD-File
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durch Korrelation
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In einem NxN-Feld sei ein Stern durch eine Gaußfunktion definiert:
┌ ┐
│ -1┌ ┐│
g(i,j) = a + b∙exp│───│Xi² + Yj²││ , (1)
│2σ²└ ┘│
└ ┘
N+1 N+1
Xi =-─── + i , Yj =-─── + j , i,j = 1, ..., N .
2 2
Die Koeffizienten a und b sollen so bestimmt werden, daß gilt:
N,N
Σ g(i,j) = 0 , (2)
i,j
N,N
Σ f(i,j)∙g(i,j) = 1 , (3)
i,j
mit
┌ ┐
│ -1┌ ┐│
f(i,j) = exp│───│Xi² + Yj²││ .
│2σ²└ ┘│
└ ┘
Haben wir einen konstanten Bildhintergrund, so erhält man also 0,
relativ große Werte folgen aber mit einer gleichartigen Funktion.
Setzt man (1) in (2) und (3) ein, so folgt:
┌ ┐
│ ┌ ┐│
│ N,N │ -1┌ ┐││ ┌ ┐ ┌ ┐
│ N² Σ exp│───│Xi²+Yj²│││ │a│ │0│
│ i,j │2σ²└ ┘││ │ │ │ │
│ └ ┘│ │ │ │ │
│ │ ∙ │ │ = │ │ .
│ ┌ ┐ ┌ ┐│ │ │ │ │
│ N,N │ -1┌ ┐│ N,N │ -1┌ ┐││ │ │ │ │
│ Σ exp│───│Xi²+Yj²││ Σ exp│───│Xi²+Yj²│││ │b│ │1│
│ i,j │2σ²└ ┘│ i,j │ σ²└ ┘││ └ ┘ └ ┘
│ └ ┘ └ ┘│
└ ┘
Mit
┌ ┐ ┌ ┌ ┐┐²
N,N │ -1┌ ┐│ │N,N │ -1┌ ┐││
Det = N²∙ Σ exp│───│Xi²+Yj²││ - │ Σ exp│───│Xi²+Yj²│││
i,j │ σ²└ ┘│ │i,j │2σ²└ ┘││
└ ┘ └ └ ┘┘
folgt:
┌ ┐
│ ┌ ┐ ┌ ┐│
┌ ┐ │ N,N │ -1┌ ┐│ N,N │ -1┌ ┐││ ┌ ┐
│a│ │ Σ exp│───│Xi²+Yj²││ -Σ exp│───│Xi²+Yj²│││ │0│
│ │ │ i,j │ σ²└ ┘│ i,j │2σ²└ ┘││ │ │
│ │ 1 │ └ ┘ └ ┘│ │ │
│ │ = ─────∙│ │∙│ │,
│ │ Det │ ┌ ┐ │ │ │
│ │ │ N,N │ -1┌ ┐│ │ │ │
│b│ │ -Σ exp│───│Xi²+Yj²││ N² │ │1│
└ ┘ │ i,j │2σ²└ ┘│ │ └ ┘
│ └ ┘ │
└ ┘
┌────────────────────────────────────────────┐
│ ┌ ┐ │
│ N,N │ -1┌ ┐│ │
│ -Σ exp│───│Xi²+Yj²││ │
│ i,j │2σ²└ ┘│ │
│ └ ┘ N² │
│ a = ──────────────────── , b = ───── │
│ Det Det │
└────────────────────────────────────────────┘ .