Ellipse im R²
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Betrachten wir eine Ellipse zentriert im Ursprung eines 2-dimen-
sionalen kartesischen Koordinatensystems, die Koordinatenachsen
seien x,y. Der Winkel zwischen großer Achse und positiver x-Achse
sei Φ. In einem gegenüber dem x-y-System um den Winkel Φ
gedrehten x'-y'-Koordinatensystem liegen große und kleine Achse a
bzw. b der Ellipse deckungsgleich mit der x'- bzw. y'-Koordi-
nate, die Ellipsengleichung lautet dann:
┌ ┐2 ┌ ┐2
│ x' │ │ y' │
│ ─── │ + │ ─── │ = 1 . (1)
│ a │ │ b │
└ ┘ └ ┘
Die Koordinatentransformation eines Punktes wird mittels Matrizen
beschrieben durch:
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ x'│ │ cos(Φ) sin(Φ) │ │ x │
│ │ = │ │ ∙ │ │ . (2)
│ y'│ │ -sin(Φ) cos(Φ) │ │ y │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
Ersetzen wir damit x' und y' in der Ellipsengleichung, so erhalten
wir:
┌ ┐ ┌ ┐
│ cos²(Φ) sin²(Φ) │ │ sin²(Φ) cos²(Φ) │
x²∙│ ─────── + ─────── │ + y²∙│ ─────── + ─────── │
│ a² b² │ │ a² b² │
└ ┘ └ ┘
(3)
┌ ┐
│ 1 1 │
- 2∙x∙y∙cos(Φ)∙sin(Φ)∙│ ─── - ─── │ = 1 .
│ b² a² │
└ ┘
Eine zweite Darstellungsform einer Ellipse im x-y-System ist die
folgende:
┌ ┐
│┌ ┐2 ┌ ┐2 │
1 ││ x│ │ y│ x y│
───────∙││──│ +│──│ -2∙r∙──∙──│ = 1 . (4)
1 - r² ││σx│ │σy│ σx σy│
│└ ┘ └ ┘ │
└ ┘
Dabei bedeuten σx und σy die Extremwerte in x- bzw. y-Richtung,
und r ist ein Parameter mit -1 < r < +1, der im statistischen
Sinne die Korrelation zwischen x- und y-Werten beschreibt. Ist
r = 0, so liegen die Hauptachsen auf der x- und y-Achse, geht r
gegen ±1, so geht die Ellipse im Grenzfall in die Gerade
y = ±σy/σx∙x für -σx < x < +σx über. Die Ellipse liegt so in einem
Rechteck mit den Eckpunkten (σx,σy), (-σx,σy), (-σx,-σy) und
(σx,-σy), daß sie gerade die vier Seiten von innen tangiert.
Übrigens ist die linke Seite von (4), multipliziert mit -½, gerade
der Exponent der 2-dimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
nach Gauß.
Unser Ziel ist es, aus den Parametern σx,σy,r die Parameter a,b,Φ
zu berechnen und umgekehrt.
Durch Vergleich der Koeffizienten von (3) und (4) erhalten wir
drei Bestimmungsgleichungen:
1 cos²(Φ) sin²(Φ)
────────── = ─────── + ─────── , (5)
σx²∙(1-r²) a² b²
1 sin²(Φ) cos²(Φ)
────────── = ─────── + ─────── , (6)
σy²∙(1-r²) a² b²
┌ ┐
r │1 1 │
──────────── = sin(Φ)∙cos(Φ)∙│── - ──│ . (7)
σx∙σy∙(1-r²) │b² a²│
└ ┘
Wir erhalten aus den Gleichungen:
┌ ┐
1 │ 1 1 │ 1 1
(6)+(5): ─────∙│ ─── + ─── │ = ── + ── ≡ α² , (8)
1-r² │ σy² σx² │ b² a²
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐
1 │ 1 1 │ │1 1 │
(6)-(5): ─────∙│ ─── - ─── │ = [cos²(Φ)-sin²(Φ)]∙│── - ──│
1-r² │ σy² σx² │ │b² a²│
└ ┘ └ ┘
(9)
┌ ┐
│1 1 │
= cos(2∙Φ)∙│── - ──│ ≡ ß ,
│b² a²│
└ ┘
┌ ┐
1 2∙r │1 1 │
(7): ─────∙───── = sin(2∙Φ)∙│── - ──│ ≡ Γ . (10)
1-r² σx∙σy │b² a²│
└ ┘
Da a immer als die große Halbachse der Ellipse verstanden werden
soll, ist
┌ ┐
│1 1 │
│── - ──│ ≥ 0 ,
│b² a²│
└ ┘
und daher folgt aus (9) und (10):
┌────────────────────────────────────┐
│ │
│ Φ = ½∙arctg[ 2∙r∙σx∙σy, σx² - σy²] │ (11)
│ │
└────────────────────────────────────┘ .
Aus (8) folgt:
1 1
- ── = ── - α² , (12)
a² b²
und die Summe der Quadrate von (9) und (10) ergibt:
┌ ┐2
│1 1 │
│── - ──│ = ß² + Γ² ,
│b² a²│
└ ┘
und mit (12) eingesetzt folgt daraus:
┌ ┐2
│ 2 │
│── - α²│ = ß² + Γ² ,
│b² │
└ ┘
2 ┌ ┐½
── = α² ±│ß² + Γ²│ ,
b² └ ┘
┌ ┐
1 │ ┌ ┐½│
── = ½│α² ±│ß² + Γ²│ │ .
b² │ └ ┘ │
└ ┘
Für die Auflösung nach 1/a² erhalten wir entsprechend:
┌ ┐
1 │ ┌ ┐½│
── = ½│α² ±│ß² + Γ²│ │
a² │ └ ┘ │ .
└ ┘
Da aber a ≥ b sei soll, gilt daher eindeutig:
┌ ┐
1 │ ┌ ┐½│
── = ½│α² -│ß² + Γ²│ │ , (13)
a² │ └ ┘ │
└ ┘
┌ ┐
1 │ ┌ ┐½│
── = ½│α² +│ß² + Γ²│ │ . (14)
b² │ └ ┘ │
└ ┘
Mit α²,ß,Γ eingesetzt erhält man schließlich:
┌ ┐
│ ┌ ┐½│
│ │┌ ┐2 │ │
1 1 1 │ 1 1 ││ 1 1 │ 4∙r² │ │
──,── = ────────∙│─── + ─── ±││─── - ───│ + ───────│ │ , (15)
b² a² 2∙(1-r²) │σx² σy² ││σx² σy²│ σx²∙σy²│ │
│ │└ ┘ │ │
│ └ ┘ │
└ ┘
oder besser:
┌───────────────────────────────────────────────────┐
│ │
│ 2∙σx²∙σy²∙(1-r²) │
│ │
│ b²,a² = ───────────────────────────────────────── │ (16)
│ ┌ ┐½ │
│ σx² + σy² ±│(σx² - σy²)² + 4∙r²∙σx²∙σy²│ │
│ └ ┘ │
└───────────────────────────────────────────────────┘ .
Behandeln wir nun das Problem σx, σy und r aus a, b und Φ zu be-
rechnen. Wir gehen von den Gleichungen (8), (9) und (10) aus und
benutzen die dort definierten Zwischengrößen α², ß und Γ, die sich
ja eindeutig aus a, b und Φ ergeben.
Aus (8) folgt:
1 1
α²∙(1-r²) - ─── = ─── . (17)
σy² σx²
Einsetzen in (9) ergibt:
┌ ┐
1 │ 2 │
─────∙│─── - α²∙(1-r²)│ = ß ---> (18)
1-r² │σy² │
└ ┘
√2 ┌ ┐½
── = │(α² + ß)∙(1 - r²)│ . (19)
σy └ ┘
Aus (9) folgt:
1 1
ß∙(1-r²) + ─── = ─── . (20)
σx² σy²
Einsetzen in (8) ergibt:
┌ ┐
1 │ 2 │
─────∙│─── + ß∙(1-r²)│ = α² ---> (21)
1-r² │σx² │
└ ┘
√2 ┌ ┐½
── = │(α² - ß)∙(1 - r²)│ . (22)
σx └ ┘
Das Produkt von (19) und (22) kann in (10) eingesetzt werden:
Γ
r = ──────────────────── . (23)
┌ ┐½
│(α² + ß)∙(α² - ß)│
└ ┘
Sodann erhält man mit (23) aus (22) bzw. (19):
2∙(α² + ß)
σx² = ────────────────────── , (24)
(α² + ß)∙(α² - ß) - Γ²
2∙(α² - ß)
σy² = ────────────────────── , (25)
(α² + ß)∙(α² - ß) - Γ²
womit das gewünschte Ziel fast erreicht ist. Durch Einsetzen von
α², ß und Γ in (23), (24) und (25) erhält man schließlich:
┌────────────────────────────────────────────┐
│ ┌ ┐ │
│ σx²,σy² = ½∙│a² + b² ± (a² - b²)∙cos(2∙Φ)│ │
│ └ ┘ │
│ │ (26)
│ (a² - b²)∙sin(2∙Φ) │
│ r = ────────────────── │
│ 2∙σx∙σy │
└────────────────────────────────────────────┘ .