Klothoide und Fresnelintegrale
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Bevor wir zur Beschreibung der Klothoide kommen, soll zuerst der
Grenzwert der Fresnelintegrale bestimmt werden.
1) Die Fresnelintegrale und ihr Grenzwert
──────────────────────────────────────
Die Fresnelschen Integrale lauten:
┌───────────────────────────────────────────────────┐
│ s s │
│ ⌠ ⌠ │
│ C(s) = │ cos(a²∙x²)∙dx , S(s) = │ sin(a²∙x²)∙dx │ (1)
│ ⌡ ⌡ │
│ 0 0 │
│ (s, a, x reell) │
└───────────────────────────────────────────────────┘ .
Man kann zeigen, daß diese Integrale für s --> ∞ konvergieren.
Dazu betrachtet man den Wert J des komplexen Integrals der
Funktion f(z) = exp(-a²∙z²) entlang eines Weges in der komplexen
Zahlenebene von z1 = 0 bis z2 = r∙exp(i∙Φ):
i∙Φ
r∙e
⌠ -a²∙z²
J = │ e ∙dz . (2)
⌡
0
Da die Funktion exp(-a²∙z²) eine regulär analytische Funktion ist,
ist der Wert des Integrals nach dem Chauchyschen Integralsatz von
der Wahl des Weges unabhängig. Wir führen die Integration von
z1 = 0 entlang der x-Achse bis z' = r (r > 0), und dann weiter von
z' entlang des im Ursprung zentrierten Kreisbogens mit Radius r
bis zum Winkel Φ (0 < Φ ≤ π/4), d. h. bis z2 = r∙exp(i∙Φ) durch.
Für das Integral (3) über den Kreisbogen:
i∙Φ
r∙e
⌠ -a²∙z²
│ e ∙dz (3)
⌡
r
gilt mit der Substitution (für festes r)
i∙α i∙α
z = r∙e , dz = i∙r∙e ∙dα : (4)
i∙Φ
r∙e
⌠ -a²∙z²
│ e ∙dz (3)
⌡
r
Φ
⌠ -a²∙r²∙cos(2∙α) - a²∙r²∙i∙sin(2∙α) i∙α
= i∙r∙│ e ∙e ∙dα
⌡
α=0
Φ
⌠ -a²∙r²∙cos(2∙α) i∙{-a²∙r²∙sin(2∙α)+α+π/2}
= r∙│ e ∙e ∙dα . (5)
⌡
α=0
┌────────────────────────────────────────────┐
│ Zwischenbemerkung │
│ │
│ Nach der Dreiecksungleichung gilt: │
│ │
│ | z1 + z2 | ≤ |z1| + |z2| , und es folgt │
│ │
│ allgemeiner: │
│ │
│ │ n │ n │
│ │ Σ zi │ ≤ Σ |zi| , und damit kann man │
│ │ i=1 │ i=1 │
│ │
│ zeigen, daß gilt: │
│ │
│ ┌──────────────────────────────┐ │
│ │ │ w │ w │ │
│ │ │ ⌠ │ ⌠ │ │
│ │ │ │ f(z)∙dz │ ≤ │ |f(z)∙dz| │ │
│ │ │ ⌡ │ ⌡ │ │
│ │ │ v │ v │ │
│ └──────────────────────────────┘ . │
└────────────────────────────────────────────┘
Für den Betrag von (3) bzw. (5) gilt deshalb, da
|exp(i∙{...})| = 1 :
│ i∙Φ │
│ r∙e │ Φ
│ ⌠ -a²∙z² │ ⌠ -a²∙r²∙cos(2∙α)
│ │ e ∙dz │ ≤ r∙│ e ∙dα . (6)
│ ⌡ │ ⌡
│ r │ α=0
Läßt man nun r gegen unendlich gehen, so geht im Grenzfall der
Wert des Integrals auf dem Kreisbogen offenbar gegen null. Damit
bleibt also nur die Integration entlang der reellen x-Achse von 0
bis r (für r --> ∞) übrig, und es gilt:
i∙Φ
r∙e r
⌠ -a²∙z² ⌠ -a²∙x² √π
lim = │ e ∙dz = lim │ e ∙dx = ─── . (7)
r-->∞ ⌡ r-->∞ ⌡ 2∙a
0 x=0
Führt man in das Integral (2) die Substitution:
i∙Φ i∙Φ -i∙Φ
z = t∙e , dz = e ∙dt , t = z∙e : (8)
ein (für festes Φ), so erhält man:
i∙Φ
r∙e r
⌠ -a²∙z² i∙Φ ⌠ -a²∙t²∙{cos(2∙Φ) + i∙sin(2∙Φ)}
│ e ∙dz = e ∙│ e ∙dt ,
⌡ ⌡
0 0
i∙Φ
r∙e r (9)
-i∙Φ ⌠ -a²∙z² ⌠ -a²∙t²∙{cos(2∙Φ) + i∙sin(2∙Φ)}
e ∙ │ e ∙dz = │ e ∙dt.
⌡ ⌡
0 0
Wir führen nun den Grenzübergang r --> ∞ durch, mit (7) folgt:
∞
-i∙Φ √π ⌠ -a²∙t²∙{cos(2∙Φ) + i∙sin(2∙Φ)}
e ∙ ─── = │ e ∙dt . (10)
2∙a ⌡
0
Die Linke Seite von (10) kann man schreiben als (10L):
√π
{cos(Φ) - i∙sin(Φ)}∙─── . (10L)
2∙a
Die rechte Seite von (10) kann man schreiben als (10R):
∞
⌠ -a²∙t²∙cos(2∙Φ) -i∙a²∙t²∙sin(2∙Φ)
│ e ∙e ∙dt =
⌡
0
∞ (10R)
⌠ -a²∙t²∙cos(2∙Φ)
│ e ∙[cos{a²∙t²∙sin(2∙Φ)}-i∙sin{∙a²∙t²∙sin(2∙Φ)}]∙dt.
⌡
0
Wenn man nun den jeweiligen Real- und Imaginärteil von (10)
- unter Benutzung von (10R) und (10L) - trennt, so erhält man:
∞
√π ⌠ -a²∙t²∙cos(2∙Φ)
cos(Φ)∙─── = │ e ∙cos{a²∙t²∙sin(2∙Φ)}∙dt , (11)
2∙a ⌡
0
∞
√π ⌠ -a²∙t²∙cos(2∙Φ)
sin(Φ)∙─── = │ e ∙sin{a²∙t²∙sin(2∙Φ)}∙dt . (12)
2∙a ⌡
0
Setzt man in diesen Formeln Φ = π/4, so erhält man:
┌────────────────────────────┐
│ ∞ ┌ ┐½ │
│ ⌠ 1 │ π │ │
│ │ cos(a²∙t²)∙dt = ─∙│ ─ │ │
│ ⌡ a │ 8 │ │
│ 0 └ ┘ │
│ │ (13)
│ ∞ ┌ ┐½ │
│ ⌠ 1 │ π │ │
│ │ sin(a²∙t²)∙dt = ─∙│ ─ │ │
│ ⌡ a │ 8 │ │
│ 0 └ ┘ │
└────────────────────────────┘ .
2) Die Klothoide oder Cornu-Spirale
────────────────────────────────
Die Klothoide ist eine Kurve in der Ebene, in kartesischen
Koordinaten lautet die Parameterdarstellung :
┌──────────────────────────────┐
│ Klothoide oder Cornu-Spirale │
│ ┌ ┐ ┌ ┐ │
│ │ X(t) │ │ C(t) │ │
│ W(t) = │ │ = b∙│ │ │ (14)
│ │ Y(t) │ │ S(t) │ │
│ └ ┘ └ ┘ │
└──────────────────────────────┘ .
Die Länge L(t) der Kurve vom Ursprung ist:
t
⌠ ┌ .2 .2 ┐½
L(t) = │ │ X + Y │ ∙dt ,
⌡ └ ┘
0
t
⌠ ┌ ┐½
L(t) = │ b∙│ cos²(a²∙t²) + sin²(a²∙t²) │ ∙dt = b∙t , (15)
⌡ └ ┘
0
┌────────────┐
│ L(t) = b∙t │
└────────────┘ .
Die Länge der Klothoide ist also proportional zum Kurvenparameter,
sie hängt offenbar nicht vom Parameter a ab.
Die Krümmung K einer Kurve W(t) ist gegeben durch:
┌ ┐½
│ .2 ..2 . .. 2 │
│ W ∙W - (W∙W ) │
K = │ ──────────────── │ (16)
│ ┌ .2 ┐3 │
│ │ W │ │
└ └ ┘ ┘ .
Für die Krümmumg der Klothoide gilt daher:
┌ ┐ ┌ ┐
. │ cos(a²∙t²) │ .. │ -sin(a²∙t²) │
W = b∙│ │ , W = 2∙b∙a²∙t∙│ │ , (17)
│ sin(a²∙t²) │ │ cos(a²∙t²) │
└ ┘ └ ┘
.2 2 ..2 2 4 2 . ..
W = b , W = 4∙b ∙a ∙t , W∙W = 0 , (18)
und daher:
┌──────────────────────────┐
│ K = 2∙a²∙t/b = 2∙L∙a²/b² │ (19)
└──────────────────────────┘ .
Die Krümmung der Klothoide ist also proportional, der
Krümmungsradius R ≡ 1/K umgekehrt proportional zur ihrer Länge.