Fehlerabschätzung für die Parameter der zweidimensionalen
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Gaußfunktion
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Die zum Fit verwandte Funktion sei gegeben durch
┌ ┐
│ (x-a3)² + (y-a4)² │
f(x,y) = a1 + a2∙exp│-½∙───────────────── │ ; (1)
│ a5² │
└ ┘
es handelt sich also um eine kreissymmetrische Gaußfunktion mit
Untergrund a1.
Wir wollen für die weitere Behandlung des Problems einige Voraus-
setzungen notieren: Es seien d(x,y) die gemessenen Funktionswerte
an den Orten (x,y). Alle Messungen seien unkorreliert und haben
die Streuung σ. Damit lautet die Kovarianzmatrix der Messungen:
2
CD = σ ∙E (E = Einheitsmatrix).
Die Daten seien in einem quadratischen Raster von n mal n Punkten
mit einem Rasterabstand ⌂ gewonnen worden. Weiter nehmen wir an,
daß am Rande des Rasterbereiches f(x,y) praktisch gleich a1 ist.
Außerdem soll ⌂/a5 « 1 und n∙⌂/a5 » 1 sein.
Die für die Ausgleichung notwendigen Gleichungen lauten
┌ ┐
┌ ┐ │a1-a10│
│ fi-a10 fi-a10 x-a30 fi-a10 y-a40 fi-a10 (x-a30)²+(y-a40)²│ │a2-a20│
z(xi,yi) = │1, ──────, ──────∙─────, ──────∙─────, ──────∙─────────────────│∙│a3-a30│+ vi, (2)
│ a20 a50 a50 a50 a50 a50 a50² │ │a4-a40│
└ ┘ │a5-a50│
└ ┘
i = 1,...,n², fi = f(xi,yi;A0), z(xi,yi) = d(xi,yi) - fi,
dabei stellen die vi die scheinbaren Fehler dar. Es sei noch
bemerkt, daß die z(xi,yi) dieselbe Kovarianzmatrix haben wie die
d(xi,yi): CZ = CD . In Matrizenschreibweise lauten die Gleichungen
(2):
Z = F∙δA + V .
Die Lösung erfolgt iterativ, wobei die aj0, j=1,2,3,4,5 die
Anfangswerte für den jeweiligen Iterationsschritt darstellen. Im
Falle der Konvergenz ist aj0 = aj. Deshalb schreiben wir im
folgenden nur aj statt aj0. Die Kovarianzmatrix der zu
bestimmenden Koeffizienten
┌ ┐
│a1│
│a2│
A = │a3│
│a4│
│a5│
└ ┘
ergibt sich nach der MkF zu:
t -1 -1
CA = (F ∙CD ∙F) ,
t
wobei mit F die Transponierte zu F bezeichnet ist. Die
Diagonalelemente sind die Varianzen der Koeffizienten. Aus CD=σ²∙E
folgt
-1 -2 2 t -1
CD = σ ∙E, und damit erhalten wir CA = σ ∙(F ∙F) .
t
Für F ∙F erhalten wir die symmetrische Matrix
t
F ∙F =
┌ ┐
│ fi-a1 fi-a1 xi-a3 fi-a1 yi-a4 fi-a1 (xi-a3)²+(yi-a4)² │
│ Σ1 Σ───── Σ─────∙───── Σ─────∙───── Σ─────∙───────────────── │
│ a2 a5 a5 a5 a5 a5 a5² │
│ │
│ (fi-a1)² (fi-a1)² xi-a3 (fi-a1)² yi-a4 (fi-a1)² (xi-a3)²+(yi-a4)² │
│ * Σ─────── Σ────────∙───── Σ────────∙───── Σ────────∙───────────────── │
│ a2² a2∙a5 a5 a2∙a5 a5 a2∙a5 a5² │
│ │
│ (fi-a1)² (xi-a3)² (fi-a1)² (xi-a3)∙(yi-a4) (fi-a1)² (xi-a3) (xi-a3)²+(yi-a4)² │
│ * * Σ────────∙──────── Σ────────∙─────────────── Σ────────∙───────∙───────────────── │
│ a5² a5² a5² a5² a5² a5 a5² │
│ │
│ (fi-a1)² (yi-a4)² (fi-a1)² (yi-a4) (xi-a3)²+(yi-a4)² │
│ * * * Σ────────∙──────── Σ────────∙───────∙───────────────── │
│ a5² a5² a5² a5 a5² │
│ │
│ (fi-a1)² (xi-a3)²+(yi-a4)² │
│ * * * * Σ────────∙───────────────── │
│ a5² a5² │
└ ┘
Da nach Voraussetzung ⌂/a5 « 1 ist, können wir für die in den
Summen Auftretenden Ausdrücke Integralausdrücke setzen, so z.B.
xi+⌂/2 yi+⌂/2
(fi-a1)² (fi-a1)² 1 1 ⌠ ⌠
für ────────: ──────── ≈ ───∙── ∙│ │ (fi-a1)²∙dy∙dx usw.
a2² a2² a2² ⌂² ⌡ ⌡
xi-⌂/2 yi-⌂/2
Da ferner nach Voraussetzung an den Rändern des Scanbereichs
f(x,y) praktisch gleich a1 ist, können wir bei der Summation der
Integrale diese von -∞ bis +∞ erstrecken, so z. B. für
xi+⌂/2 yi+⌂/2
(fi-a1)² (fi-a1)² 1 1 ⌠ ⌠
Σ──────── : Σ──────── ≈ Σ───∙──∙│ │ (fi-a1)²∙dy∙dx,
i a2² i a2² ia2² ⌂² ⌡ ⌡
xi-⌂/2 yi-⌂/2
+∞ +∞ ┌ ┐
(fi-a1)² 1 ⌠ ⌠ │ (x-a3)² + (y-a4)² │ a5²
Σ──────── ≈ ──∙│ │ exp│-½∙───────────────── │∙dy∙dx = π∙── ,
i a2² ⌂² ⌡ ⌡ │ a5² │ ⌂²
-∞ -∞ └ ┘
(fi-a1)² a5²
Wir erhalten so: Σ──────── ≈ π∙── .
i a2² ⌂²
Wir wollen hier von der Bestimmung der anderen Summen absehen und
t
sogleich das Ergebnis für F ∙F aufschreiben:
┌ ┐
│ 2πa5² 4πa2a5 │
│ n² ───── 0 0 ────── │
│ ⌂² ⌂² │
│ │
│ 2πa5² πa5² πa2a5 │
│ ───── ──── 0 0 ───── │
│ ⌂² ⌂² ⌂² │
│ │
t │ πa5² │
F ∙F = │ 0 0 ──── 0 0 │ .
│ 2⌂² │
│ │
│ πa5² │
│ 0 0 0 ──── 0 │
│ 2⌂² │
│ │
│ 4πa2a5 πa2a5 2πa5² │
│ ────── ───── 0 0 ───── │
│ ⌂² ⌂² ⌂² │
└ ┘
┌ t ┐-1
Wir erhalten für die inverse Matrix │ F ∙F │ :
└ ┘
┌ ┐
│ π -2πa5 │
│ ─────────── 0 0 0 ──────────────── │
│ n²∙⌂²-8πa5² a2∙(n²∙⌂²-8πa5²) │
│ │
│ 2 -1 │
│ 0 ─── 0 0 ───── │
│ a5² a2∙a5 │
│ │
┌ t ┐-1 ⌂² │ 2 │
│ F ∙F │ = ──∙│ 0 0 ─── 0 0 │ ,
└ ┘ π │ a2² │
│ │
│ 2 │
│ 0 0 0 ─── 0 │
│ a2² │
│ │
│ -2πa5 -1 1 n²∙⌂²-4πa5² │
│ ──────────────── ───── 0 0 ───∙──────────── │
│ a2∙(n²∙⌂²-8πa5²) a2∙a5 a2² n²∙⌂²-8πa5² │
└ ┘
und daher erhalten wir für die Kovarianzmatrix CA, wenn man
sogleich auch n∙⌂/a5 » 1 berücksichtigt und anwendet:
┌ ┐
│ π -2πa5 │
│ ───── 0 0 0 ──────── │
│ n²∙⌂² a2∙n²∙⌂² │
│ │
│ 2 -1 │
│ 0 ─── 0 0 ───── │
│ a5² a2∙a5 │
│ │
σ²∙⌂² │ 2 │
CA = ─────∙│ 0 0 ─── 0 0 │ .
π │ a2² │
│ │
│ 2 │
│ 0 0 0 ─── 0 │
│ a2² │
│ │
│ -2πa5 -1 1 │
│ ──────── ───── 0 0 ─── │
│ a2∙n²∙⌂² a2∙a5 a2² │
└ ┘
Damit lautet die Varianz der Position a3,a4:
σ²∙⌂²∙2
σ²(a3) = σ²(a4) = ─────── und daher:
πa2²
┌──────────────────────────┐
│ ┌ ┐½ │
│ σ∙⌂ │2│ │
│ σ(a3) = σ(a4) = ───∙│─│ │
│ a2 │π│ │
│ └ ┘ │
└──────────────────────────┘
Wir bemerken:
1) Die Größe σ∙⌂ ist eine nur von der Platte abhängige Größe.
Vergrößert man den Rasterabstand ⌂ auf das Doppelte (d. h. die
Pixelfläche auf das Vierfache!), so verringert sich σ auf den
halben Wert, damit bleibt σ∙⌂ konstant.
2) Die Größe des Scanbereichs spielt keine Rolle, solange nur
das durch f dargestellte Bild ganz innerhalb des Scanbereichs
liegt.
3) Die Genauigkeit der Position für Sterne gegebener Zentral-
helligkeit (=a2) hängt nur von den Platteneigenschaften (σ∙⌂)
ab. Sie hängt nicht von der Größe des Sternbildes (=a5) ab!
Die integrierte Intensität der zweidimensionalen
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Gaußfunktion
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀
Unter Bezug auf das Vorige wollen wir unter der integrierten
Intensität I verstehen:
+∞+∞
⌠ ⌠ ┌ ┐
│ │ │ (x-a3)² + (y-a4)² │
I = │ │ a2∙exp│-½∙───────────────── │∙dy∙dx ,
│ │ │ a5² │
⌡ ⌡ └ ┘
-∞-∞
also die Integration von f(x,y) ohne Untergrund a1. Die
Integration ergibt:
┌────────────────┐
│ │
│ I = 2π∙a2∙a5² │ .
│ │
└────────────────┘
Zur Berechnung des Fehlers müssen wir die Änderung δI als Fkt. von
a2,a5 (linearisiert) betrachten. Es gilt:
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ dI dI│ │δa2│ ┌ ┐ │δa2│
δI = │───, ───│∙│ │ = │2π∙a5², 4π∙a2∙a5│∙│ │ .
│da2 da5│ │δa5│ └ ┘ │δa5│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
Zur Bestimmung des Fehlers bedienen wir uns der Kovarianzmatrix
CA25 der beiden Parameter a2,a5, die wir der Kovarianz CA
entnehmen:
┌ ┐
│ 2 -1 │
│ ─── ───── │
σ²∙⌂² │ a5² a2∙a5 │
CA25 = ─────∙│ │ .
π │ -1 1 │
│ ───── ─── │
│ a2∙a5 a2² │
└ ┘
Damit lautet die Kovarianzmatrix CI:
┌ ┐ ┌ ┐t
│ dI dI│ │ dI dI│
CI = │───, ───│∙CA25∙│───, ───│ ,
│da2 da5│ │da2 da5│
└ ┘ └ ┘
┌ ┐
│ 2 -1 │
│ ─── ───── │ ┌ ┐
σ²∙⌂² ┌ ┐ │ a5² a2∙a5 │ │2π∙a5² │
CI = ─────∙│2π∙a5², 4π∙a2∙a5│∙│ │∙│ │,
π └ ┘ │ -1 1 │ │4π∙a2∙a5│
│ ───── ─── │ └ ┘
│ a2∙a5 a2² │
└ ┘
┌ ┐
σ²∙⌂² │ │
CI = ─────∙│ -8π²∙a5² + 16π²∙a5² │ ,
π │ │
└ ┘
CI = 8π∙a5²∙σ²∙⌂² ,
und daher für die Streuung σ(I):
┌──────────────────────┐
│ │
│ σ(I) = 2√(2π)∙a5∙σ∙⌂ │ .
│ │
└──────────────────────┘
Die relative Streuung ergibt sich zu:
┌───────────────────┐
│ │
│ ┌ ┐½ │
│ σ(I) │2│ σ∙⌂ │
│ ──── = │─│ ∙───── │ .
│ I │π│ a2∙a5 │
│ └ ┘ │
│ │
└───────────────────┘